INTRODUCTION :
Il est aussi possible de créer un équilibre stable de toute pièce avec des petites oscillations à haute fréquence appliquées à la base du pendule, le tout sans aucun asservissement, comme nous allons le voir dans ce paragraphe.
THÉORIE :
Considérons un pendule soumis à une force dérivée d'un potentiel ainsi qu'à un forçage f.
Le forçage sera périodique :
Le mouvement du pendule peut se décomposer comme suit :
Où 
est le mouvement induit par le potentiel et 
est le mouvement induit par le forçage f. Le forçage étant de très haute fréquence, nous pouvons considérer avec raison que la valeur moyenne de 
sur une période supérieure à
est nulle, et 
ne varie que très lentement durant une période de cette ordre. En notant la moyenne par une barre, il vient :
Remarquons que 
décrit le mouvement du pendule moyenné sur une période supérieure à celle des oscillations rapides. Nous appellerons par la suite ce mouvement le mouvement "doux".
Ré-injectons notre nouvelle fonction position pour trouver :
(1)
(2)
Nous trouvons dans cette équation à la fois des termes décrivant les mouvements doux et des termes décrivant les mouvements oscillatoires rapides que l'on peut évidemment séparer en deux équations distinctes. Pour les termes d'oscillations rapides nous trouvons :
Pour cela, intéressons-nous à un forçage du type 
(avec a l'amplitude du forçage). Ce qui nous donne une force appliquée sur le pendule de 
. Nous trouvons donc une énergie potentielle effective de :
Avec 
et 
qui ne sont pas fonction du temps et 
très grand devant 
, 
étant la période propre du pendule.
Intéressons-nous à un pendule avec un seul degré de liberté (
), il vient :
Les autres termes contenant le facteur 
sont à un ordre supérieur et nous les négligeons donc. Nous intégrons l'équation (3) :
(3)
(4)
Puis nous moyennons l'équation (2). Les valeurs moyennes de 
et de f sont nulles. Il vient donc :
(5)
Qui peut aussi s'écrire :
(7)
Où "l'énergie potentielle effective" est définie par :
En comparant cette expression avec l'équation (4), nous voyons que le terme ajouté à U est simplement l'énergie cinétique du mouvement oscillatoire rapide :
(8)
Nous constatons donc que le mouvement du pendule moyenné "au-dessus" d'une oscillation est le même que si le potentiel U était augmenté par une quantité constante proportionnelle au carré de l'amplitude des oscillations.
APPLICATION À NOTRE SYSTÈME :
Nous venons de voir ce qu'est l'énergie potentielle effective d'un pendule subissant un forçage périodique de haute fréquence.
Nous pouvons donc étudier la stabilité d'un tel pendule.
Soit dans notre cas:
(9)
En conclusion, nous pouvons dire qu'un pendule forcé horizontalement par une pulsation 
possède un équilibre stable en 
quand 
. Autrement, son point d'équilibre stable est donné par 
. C'est celui-là qui nous intéresse ici car nous voyons qu'avec une pulsation très grande devant 
, son nouveau point d'équilibre stable est 
comme nous le désirons.
(10)
En dérivant l'équation (10), il vient :
(11)
Nous trouvons donc deux points d'équilibre à notre système : 
et 
tel que 
. Remarquons que 
existe déjà sur un pendule non-forcé et que 
est défini seulement pour un système tel que 
.
Nous pouvons maintenant étudier la stabilité de ces deux points en dérivant une seconde fois l'équation (10) :
(12)
En 
, nous trouvons que 
(stable) si 
. Autrement ce point d'équilibre est instable.
Pour 
, quand il est défini, nous avons toujours 
.
NB : Tous l’aspect théorique de cette page a été amplement inspiré par le livre “Course of Theorical Physics - Volume 1” de L.D. LANDEAU et E.M. LIFSHITZ