Les Billards
Formellement, un billard est un espace à 2 dimensions comportant des parois (formant souvent un espace clos) dans lequel on étudie le comportement d’une masse ponctuelle obéissant aux lois de la mécanique classique. On considère que la particule n’est soumise à aucune force, et que son énergie mécanique est conservée. Elle suit donc une trajectoire rectiligne uniforme et rebondit en cas de contact avec une paroi (on considère que les chocs sont parfaitement élastiques). Son angle d’incidence après rebond est identique à celui avant rebond.
On peut distinguer deux types de billards : les billards réguliers et les billards chaotiques. Cette distinction apparaît lorsqu’on étudie le comportement d’une trajectoire dont on modifie légèrement les conditions initiales.
Dans le cas régulier, la nouvelle trajectoire obtenue reste très voisine de l'ancienne même après un grand nombre de rebond.
Cette trajectoire dans un billard circulaire laisse apparaître une caustique, zone de l'espace non explorée. Ce type de figure est typique des billards réguliers:
Dans le cas chaotique, les deux trajectoires divergent très rapidement, et au bout de quelques rebonds, elles sont complètement différentes. Donc bien qu'il s'agisse d'un système déterministe, les trajectoires paraîssent aléatoires.
Un fois tronqué, un billard circulaire devient chaotique, et la caustique disparait:
