Les instruments à cordes frottées de la famille des violons présentent des conditions favorables à la perception d'une nuisance sonore, sous la forme d'un battement appelé "Note du Loup".

Ces conditions sont :

• un fort couplage entre une ou plusieurs cordes et le corps de l'instrument, par l'intermédiaire du chevalet.

• une résonance faiblement amortie du corps.

• l'entretien des vibrations par le frottement de l'archet sur la corde.

Lorsque l'on joue une note, une multitude de fréquences est produite. Ces fréquences sont d'une part la fréquence fondamentale de la corde et ses harmoniques, et d'autre part toutes les fréquences propres des composantes de l'instrument.

Il y a une position de doigt précise telle que deux fréquences particulièrement résonantes se retrouveront suffisamment proches pour produire un battement. Ces deux fréquences sont le fondamental de la corde et une des fréquences propres du corps, qui se trouve être dans le domaine des basses fréquences.

On se trouve alors à la "position du loup".

Le squelette d'un violoncelle est sensiblement le même que celui d'un violon, à plus grande échelle. On y retrouve les parties primordiales à son timbre particulier telles que l'âme, mais notre problème concerne essentiellement la corde sur laquelle on joue et le corps qui vibre fortement sous l'action du chevalet qui transmet l'énergie de la corde.

Lors d'une émission sonore, la corde peut être excitée de deux manières, en la pinçant (production de vibrations libres) ou en la frottant à l'archet (excitation entretenue). L'onde se propage le long de la corde encastrée dans le chevalet puis est transmise au corps, dont les parties les plus vibrantes sont la table et le dos.

Le chevalet est composé d'une partie vibrante, en contact avec les cordes, et de deux pieds qui le relient au corps.

Caractérisation de la corde

Le mouvement d'une corde frottée est appelé Mouvement de Helmholtz.

Il est composé d'une phase d'adhérence lente, où un point de la corde suit le mouvement de l'archet, puis une phase de glissement brutale de ce point dans le sens opposé au mouvement, avant d'être repris par l'archet.

À la position du loup, la phase de glissement est dégénérée en une phase de double-glissement.

Les fréquences de la corde vibrante sont :

où L est la longueur de la corde, c=√T/√μ la célérité de l'onde le long de la corde.

Le fondamental (n=1) de la corde change donc avec la position du doigt qui fixe sa longueur en vibration.

Caractérisation du corps

Le corps vibre grâce à l'énergie de la corde transmise via le chevalet. Le son final obtenu par rayonnement est le fruit de toutes les vibrations qui traversent l'instrument et sont amplifiées par la caisse de résonance, mais les plus importantes sont le fondamental de la corde (et ses harmoniques) et les fréquences propres de la table.

Le corps ne vibre pas de façon homogène. Les lieux les plus vibrants sont appelés ventres de vibration ; à l'inverse, les moins sensibles aux vibrations sont appelés les lignes nodales.

La disposition spatiale des ventres et des lignes nodales dépend de la fréquence excitée, elle est appelée mode de vibration.

À la fréquence du corps, on peut représenter le mode associé à cette résonance dite "du loup". On l'appelle B1-.

La carte a été remise à l'échelle réelle.

L'intensité des vibrations (en dB) est légendée comme ceci : la couleur la plus chaude (rouge) correspond à un ventre de vibration, la couleur la plus froide (bleu foncé) correspond à une ligne nodale.

On voit deux ventres de vibration (dont l'un, particulièrement fort, entre un "f" et le bord de l'instrument) séparés par une ligne nodale.

Le corps se comporte comme un système vibrant masse-ressort. Sa fréquence peut donc s'assimiler à celle d'un oscillateur harmonique :

avec K la raideur de l'instrument, M sa masse en vibration.

Nous pouvons ainsi déterminer une estimation de K et M par régression linéaire. Le modèle étant très simplifié, on peut s'attendre à des incertitudes assez grandes sur ces valeurs. Par ailleurs, la température ambiante peut altérer le bois du violoncelle et ainsi perturber le système.

Dès lors, on peut changer la valeur de la fréquence du corps en influençant M et K.

La fréquence du corps varie autour de 196 Hz, correspondant à un Sol 2.

En extension de ce qui était dit précédemment, le battement du loup est une conséquence de la trop grande proximité entre le fondamental de la corde joué, et une fréquence du corps très résonante.

Les résonances du corps étant la conséquence d'un mode de fabrication de l'instrument particulier, on pourrait penser qu'il est possible de neutraliser le problème à sa racine en adaptant notre manière de construire l'instrument de façon à ce que cette résonance ne soit pas trop proche d'une note jouée.

Néanmoins, ce n'est pas un problème qui est entièrement déterminé lors de sa conception. En effet, le corps est très sensible aux variations de température et d'humidité, de ce fait la position d'un loup peut varier d'une semaine à l'autre, parfois il est très intrusif, d'autres fois presque inexistant. C'est un phénomène imprévisible.

Dès lors, on pourrait être tenté de revoir sa façon de jouer, soit en forçant sur l'archet de manière à ce que la résonance de la corde soit très grande devant celle du corps problématique (mais celà peut être contraire au caractère de la pièce interprétée), soit en jouant avec une extrême précision à cette fréquence du corps de façon à éliminer le battement.

Ce n'est hélas possible ni dans la théorie ni dans la pratique. Il est en effet impossible, lors d'un fort couplage entre la corde et le corps, de considérer l'une des fréquences indépendemment de l'autre au voisinage du loup. Il y a une interaction incontrôlable et on ne peut les faire coïncider, il y a un phénomène d'évitement des fréquences.

Le diagramme théorique suivant nous montre, pour un interval fréquenciel relativement proche de la fréquence propre du corps qui nous intéresse, le comportement des fréquences du corps et de la corde.

Les deux fréquences entendues sont symbolisées par des traits pleins, quand leur largeur de bande est symbolisée par des traits pointillés. On identifie ainsi la résonance la plus large comme celle du corps, et la plus étroite comme celle de la corde.

Loin du loup, la fréquence propre du corps reste constante et la fréquence de la corde suit linéairement notre position du doigt. Lorsque l'on s'approche de la position du loup, les largeurs de bande changent, il est dès lors impossible de distinguer fréquence du corps de fréquence de la corde : ce sont deux fréquences "du loup".

À la position du doigt telle que normalement fréquence de la corde et fréquence du corps devraient coïncider, il y a en fait deux fréquences distinctes, espacées de moins de 4Hz : il y a battement.

On continue à bouger la position du doigt jusqu'à ce qu'il y ait une inversion des largeurs de bande : c'est signe qu'on est de nouveau en dehors du domaine du loup, et que le fondamental de la corde a dépassé la fréquence propre du corps. La fréquence de la corde suit de nouveau un comportement attendu quant à la position du doigt. Le problème n'est pas entièrement symétrique, car la modélisation tient compte d'autres paramètres intervenant dans le couplage que nous n'avons pas traité.

Notre exemple pratique suit bien la théorie. En survolant les 3 panneaux, vous pouvez identifier les différentes fréquences entendues en fonction de la position du doigt. À noter, le problème réel implique bien plus de résonances, il est donc impossible de toujours certifier quelle est la résonance du corps qui nous intéresse.

Des objets ont été développé afin de répondre aux attentes des musiciens : il s'agit des suppresseurs de loup.

Il en existe de plusieurs types. Tous ont pour point commun d'essayer de modifier le couplage entre le corps et la corde, soit en changeant directement la fréquence du corps, soit par d'autres paramètres implicitement inhérants au problème.

Étude de l'accordeur de Theunis

Si on fait une première analyse temporelle du signal, le résultat est saisissant. Sur la première courbe (corde frottée sans l'accordeur), le battement est très présent. Sans changer la position du doigt, en rajoutant l'accordeur, le loup disparaît (les creux de volume correspondent à un changement du sens de frottement).

Faisons une analyse fréquencielle, à une position donnée, d'une réponse impulsionnelle en fonction de la présence ou non de l'accordeur (cette méthode présente l'avantage d'être un "cliché" des fréquences présentes à l'instant t=0). Nous voyons que là où il devrait y avoir deux fréquences qui se "battent", il n'en reste plus qu'une.

Faisons maintenant une analyse impulsionnelle selon la position du doigt.

Sur le deuxième diagramme, nous pouvons voir que la résonance du corps est très atténuée (car déplacée). La fréquence de la corde est beaucoup plus distincte (elle est épurée des fréquences parasites) et il n'y a pas d'évitement au voisinage du loup.

Étude de l'atténuateur

De même, commençons par une analyse audio rudimentaire.

Sans être aussi explicitement efficace que l'accordeur de Theunis, son utilité n'est pas des moindres car l'amplitude de la modulation est très réduite. On voit sur le diagramme ci-dessous qu'il semble avoir un effet drastique en applatissant les résonances ; le volume global en est aussi grandement affecté.