Le formalisme mathématique :
Le formalisme mathématique qui découle de notre raisonnement est le suivant :
Etant donné que le premier compartiment n'a pas de compartiment qui le précède, alors on peut noter l’état du premier compartiment
au temps t comme étant :
Ci,k(t) = Ci,k(t-1) * (1 - PDi,k(t-1) - CFi,k(t-1)) + ∑ aj(t-DSi,j) * PSi,j(t-DSi,j)
Pour les autres compartiments, il faut tenir compte de l’information transmise par le compartiment précédent. Et donc on traduira
l’état de ces compartiments au temps t, tel que :
Ci,k-1(t) = Ci,k(t-1) * PDi,k(t-1) + Ci,k-1(t-1) * (1 - PDi,k-1(t-1) - CFi,k-1(t-1)) + ∑ aj(t-DSi,j) * PSi,j(t-DSi,j)
La genèse d’un nouveau PA implique que le soma somme tous les PPS. Et si sa valeur dépasse une certaine valeur seuil, qui correspond au Seuil de
Dépolarisation (SD), un nouveau PA est déclenché. Et donc on écrit :
Si, Si(t) >= SD,
Alors, un PA est émis et on aura ai = 1.
Sinon, il ne se passe rien, pas de PA, et on aura ai = 0.
Et pour ce qui est de l’état du soma au temps t, on cherchera à savoir si le neurone à déjà émis un potentiel d’action au temps
précédent (t-1). Donc on écrit :
Si ai(t-DSi) = 0,
Alors Si(t) = Si(t-1) * (1 - CFi,0(t-1) + Ci,1(t-1) * PDi,1(t-1)).
Sinon Si(t) = Si(t-1) * (1 - CFi,0(t-1) + Ci,1(t-1) * PDi,1(t-1)) - SDi,0(t-1).
Puis on repart du début et ainsi de suite.
Notations :
Ci,k(t) : état du compartiment k du neurone i au temps t.
PDi,k(t) : pertes dendritiques du kième compartiment du neurone i au temps t. (= coefficient de transmission)
CFi,k(t) : courants de fuites du kième compartiment du neurone i au temps t. (= coefficient de perte)
aj(t) : activité de l’axone du neurone j au temps t.
DSi,j : délai synaptique entre le neurone i et le neurone j.
PSj(t) : poids synaptique du neurone j au temps t.
ai(t-DSi) * PSi(t-DSi) : potentiel post synaptique du neurone i au temps (t-DS).
SDi,0(t) : seuil de dépolarisation du soma du neurone i au temps t.
SD : seuil de dépolarisation (définie au préalable).