Cette théorie permet d’étudier le comportement universel des systèmes chaotiques. C’est pourquoi elle peut être très utile dans beaucoup de domaines de la physique. Elle permet de classer des systèmes ondulatoires non intégrables en deux grands domaines (GOE, GUE) en considérant les invariants des systèmes. On arrive, par exemple, à trouver des points communs entre l’acoustique des salles, l’optique, l’électromagnétisme. La TMA est utilisée pour l’étude des spectres d’énergie lors de la diffusion de neutrons dans les noyaux lourds (c’est d’ailleurs pour cette étude qu’elle a vu le jour), ou bien d’ondes électromagnétique en milieu complexe.
Cette théorie représente une bonne approximation d’hamiltoniens de systèmes non intégrables (chaotique) difficilement descriptibles. S’attachant seulement aux caractéristiques universelles, elle ne peut pas à elle seule modéliser des systèmes chaotiques et doit souvent être utilisée de paire avec l’approche « Semi classique » (pas abordée lors de ce stage) qui permet de décrire les caractéristiques du système en utilisant les Orbites Périodiques.
Par commodité nous utilisons le langage quantique (hamiltonien, énergie propre …).
La théorie des matrices aléatoires n’étant pas abordable dans sa totalité à notre niveau, nous avons privilégié une étude qualitative tournée vers la simulation plutôt que théorique. Cependant un minimum de théorie a dû être assimilée. Nous supposons que le lecteur connaît les termes suivant: système chaotique, Hamiltonien, énergie propre, distribution de probabilité. Partant de là, la suite est expliquée.
La théorie des matrices aléatoires permet de classer des systèmes de chaos ondulatoire en différents ensembles. Nous, nous sommes intéressés à l’ensemble le plus utilisé :
- L’ensemble orthogonal gaussien (GOE) des matrices orthogonales (symétriques) qui représente les systèmes invariants par renversement du temps.
Notre simulation porte sur cet ensemble où les hamiltoniens sont réels symétriques, constitué de variables aléatoire issu d’une distribution gaussienne.
Question : Pourquoi ces variables aléatoires doivent-elles être générées d’après une distribution g aussienne ?
Réponse (qualitative) : Pour satisfaire la condition d’invariance de la physique par changement de base. Il faut, que les éléments de matrice soient tirés au sort par une loi de distribution qui rende l’entropie statistique maximale. On aboutit finalement à une distribution Gaussienne.
Nous allons nous intéresser au théorème de Wigner, qui stipule que:
« La densité des valeurs propres d’une matrice aléatoire tend vers une constante lorsque la taille de la matrice tend vers l’infini (N). »
ou
« Quand la taille de la matrice est finie, la densité des valeurs propres suit une distribution en demi cercle avec une partie central correspondant au comportement asymptotique.»
Précisément, les objectifs de ce stage sont :
- La vérification du théorème de Wigner pour une matrice de taille finie (2ème partie du théorème).
- La vérification de la distribution des écarts entre valeurs propres voisines P(s) pour un système chaotique (avec s = xi+1-xi où xi=Nmoy(Ei) (sans dimension) est le comportement moyen du nombre cumulé de mode pour une valeur propre Ei).
La démarche suivit pour y parvenir s’articule en quatre parties :
Premièrement, il est nécessaire de trouver un « bon » générateur aléatoire ; nous en avons testé plusieurs présentant des modèles algorithmiques différents.
La deuxième partie consiste à passer d’une distribution uniforme à une distribution gaussienne.
La troisième partie à pour but de mettre en évidence la distribution des valeurs propres issues d’une matrice aléatoire de taille finie appelée loi de Wigner.
Enfin dans la dernière partie nous simulerons une grandeur statistique couramment employée : la distribution des écarts entre valeurs propres voisines.
