La théorie des matrices aléatoires prédit (dans l’ensemble GOE) que la distribution des valeurs propres d’une matrice aléatoire de grande taille à la forme d’un demi cercle. Elle prédit également une grandeur statistique, la distribution des écarts entre valeurs propres voisines. Ce stage a pour but de voir dans quelles limites, il est possible de modéliser numériquement ces deux grandeurs.

 

D’après les résultats obtenus sur la loi semi-circulaire et sur le P(s), nous pouvons dire que la simulation est en accord avec la TMA.

 

Cependant une remarque s’impose sur la distribution P(s) : Le décalage entre théorie et simulation pour les événements rares ne met pas en doute la théorie, mais il nous informe sur la difficulté de simuler cette partie de la théorie des matrices aléatoires.

Pour accorder d’avantage la théorie et la simulation, il faudrait :

 

- Choisir un générateur aléatoire uniforme présentant une très grande pseudo période.

- Numériser des matrices de grandes tailles (~1000*1000) pour pouvoir faire un bon redressement de spectre.

- En tirer un très grand nombre (~100 000) pour avoir de bonnes statistiques.  

 

Avec ces données, nous pensons que l’accord  théorie / simulation serait encore meilleure (surtout pour les événements rares).

 

 

 

 

Ce stage nous a permis d’avoir une approche différente de la physique et d’appréhender une approche statistique de cette matière. En effet , la complexité de  certains phénomènes (acoustique des salles, chaos ondulatoire, optique …) exige un grand nombre d’équations  complexes afin de les décrire alors que la TMR s’appuie sur des principes simples de symétrie. D’où l’utilité d’une approche statistique et numérique afin d’exécuter un nombre important de tirages (pour que la loi des grands nombres soit vérifiée).

Ainsi nous nous sommes (un peu) familiarisés avec une branche de la physique qui nous était que peu connue, tant sur le plan conceptuel (simulation numérique), que sur le plan théorique (matrice aléatoire).

Il en va sans dire que ce stage a été d’un grand intérêt pour nous, tant pour nos études que personnellement.

 Nous tenons à remercier particulièrement MORTESSAGNE Fabrice qui nous a accueilli dans son équipe de recherche, ainsi que AGEON Yann et GAY-PARA Bernard  qui, sans leurs aides précieuses en programmation ce code n’aurait jamais vu le jour.

  Un grand merci également a POLI Charles qui nous a maintes fois éclairé sur la théorie, et à LAURENT David pour l’explication de l’expérience de localisation des modes dans une cavité (son sujet de thèse). Enfin nous remercions tout le laboratoire du LPMC qui nous a toujours réservé un accueil chaleureux.