On appelle système idéal un système qui n’est soumis à aucune force de frottement. On néglige donc
.


D’après les conditions posées ci dessus, on cherche une fonction bien définie en 0 de la forme :

 

SYSTÈME IDÉAL :

INTRODUCTION :

Dans cette partie, notre objectif est de stabiliser le pendule forcé inversé autour de sa position d’équilibre instable
. Pour cela, il nous faut étudier en détail comment varie l’accélération du chariot
en fonction de la position du pendule
. On doit donc construire une fonction de la forme :
 
On trace alors le portrait de phase à l’aide d’un programme informatique basée sur l’algorithme de Runge-Kutta 4. On pose
et
:
 

Pour que cette fonction décrive bien notre problème, on pose plusieurs conditions :


  1. -si
    alors
    ;
  2. -si
    alors
    ;
  3. -si
    alors
    .
 
avec
  un paramètre.


On remarque que la fonction sinus (qui est bien définie en 0 avec
) correspond à notre problème. On écrit donc :
 

(1)

On appelle
le forçage.


Pour vérifier la justesse de cette hypothèse, il nous faut étudier l’allure du portrait de phase correspondant. En effet, on sait que, si l’accélération du chariot compense bien la chute du pendule sans frottement, alors le pendule oscillera autour de
(on peut identifier ce comportement à celui d’un pendule (non inversé non forcé) lâché sans vitesse initiale et ne subissant aucun frottement. Il oscillera, lui, autour de sa position d’équilibre).


On injecte alors (1) dans l’équation du mouvement adimensionalisée trouvée dans la partie principe du pendule forcé inversé (équation (9)) :

 

(2)

On se place autour de
, on peut donc faire les développements limités au premier ordre du sinus et du cosinus, ce qui nous donne :
 

(3)

avec
et
.


Il ne nous reste qu’à intégrer cette équation par rapport au temps pour obtenir l’équation du portrait de phase. On la réécrit d’abord sous la forme :

 

Puis on intègre :

        On approfondit cette étude du système idéal en s’intéressant au déplacement du chariot, c’est à dire à sa position en fonction du temps.

En utilisant les développements limités on écrit :

Avec
la force de frottements et
un coefficient de frottement visqueux. En ré-injectant
tel que nous l’avons défini dans l’équation (6) il vient une nouvelle équation :
 
    En suivant le même raisonnement que pour le pendule simple inversé, on a
et :
 

(4)

et d’après l’équation (3) :

(6)

On intègre une première fois par rapport au temps :

        On vient de trouver des équations simples pour résoudre notre système, or on se rend bien compte qu’elles ne peuvent pas décrire un comportement réel.

Il nous faut introduire les forces de frottements, donc tenir compte de
.
La nouvelle équation pour
est :
 
A t=0 on pose
= position initiale du chariot, on obtient :
 
A t=0 on pose
= vitesse initiale du chariot, et on dérive une seconde fois par rapport au temps :
 

(5)

(7)

SYSTÈME RÉEL :

        Le chariot ne peut se déplacer qu’entre deux positions, au delà le pendule est irrattrapable. Pour contrer ce problème on ajoute un terme qui crée une force de rappel.

De façon concrète, tout se passe comme si nous avions un ressort dont la force de rappel serait supérieure à son accélération quand ce dernier approche des valeurs limites. L’équation la plus adaptée à notre système s’écrit donc :

(8)

On utilise les développements limités :

On pose
:
 

(9)

De même que précédemment, on multiplie chaque terme par
:
 

Et on intègre :

car à t=0
et
:
 

(10)

On peut alors tracer le portrait de phase correspondant en posant
et
:
 
On remarque que l’équilibre est bien créé en
. On peut en déduire que les frottements “aident” le système à s’équilibrer.
Regardons l’évolution de la position du chariot en fonction du temps (équation (7)) avec comme conditions initiales à t=0
et
(à l’aide de Runge-Kutta 4) :
 

Tout se passe comme si notre système et qu’il se déplaçait à vitesse constante ce qui implique que le chariot aura tendance à aller vers l’infini. Or lorsque l’on va  appliquer ce résultat aux moyens disponibles pour la réalisation (table traçante), on ne peut pas l’utiliser. En effet, nous sommes limités, la table traçante ne mesurant qu’une vingtaine de centimètres.

Il nous faut introduire un terme qui permet de ralentir la vitesse du chariot pour faire tendre cette dernière vers zéro. On ajoute donc une force de friction fictive
avec
un terme de viscosité.
Ce qui nous donne une nouvelle équation pour
:
 

(11)

En introduisant ce résultat dans l’équation (8) on a :

MODÈLE APPLICABLE À LA TABLE TRAÇANTE :

(13)

avec
un coefficient de rappel.
Ce qui donne pour
:
 

Pour les petits angles :

(12)

En se servant de notre algorithme informatique et en posant
,
et
on obtient
en fonction de
:
 
et
en fonction du temps :
 
On a donc trouvé une solution pour que le pendule se stabilise autour de
et qui donne à notre système une vitesse nulle.
 

(14)

Il ne reste plus qu’à vérifier ces hypothèses avec une simulation numérique (
,
,
et
) :
 

Nous avons donc trouver un forçage qui nous permet de stabiliser le pendule sur son équilibre instable tout en respectant les contraintes de l’expérience.


Maintenant nous allons résoudre de manière analytique en utilisant une méthode perturbatrice.