Algorithme de Beeman

Notre programme de simulation du lanceur de Laplace est basé sur l'algorithme de Beeman à une dimension, en effet la bille se déplace seulement suivant l'axe $Oz$. Cet algorithme est basé sur quatre opérations: l'intégration des positions, le calcul de la force, l'intégration des vitesses et l'actualisation des accélérations.
A l'instant t nous connaissons la position $L(t)$, la vitesse $v(t)$ et les accélérations $a(t-dt)$ et $a(t)$ de la bille. A chaque pas de temps $dt$ l'algorithme effectue quatre calculs qui nous permettent alors d'obtenir $L(t+dt)$,$v(t+dt)$ et $a(t+dt)$. Notre programme s'arrête quand la bille atteint le bout des plaques, en $L(t) = L$.

• Intégration des positions: $L(t +dt) = L(t) + v(t).dt + \frac{2}{3}.a(t).{dt}^2 - \frac{1}{6}.a(t-dt).{dt}^2$
• Calcul de la force: L'équation de la force de Laplace montre que la force dépend de la position $L(t)$ de la bille, il suffit donc de calculer la force en $L(t+dt)$ pour avoir la force au temps $t + dt$: $F_{tot}(t+dt)$.
• Intégration des vitesses: $v(t+dt) = v(t) + \frac{1}{3m}F_{tot}(t+dt).dt + \frac{5}{6}a(t).dt - \frac{1}{6}a(t-dt).dt$
• Actualisation de l'accélération: $a(t-dt) = a(t) ; a(t) = F_{tot}(t+dt) / m$

Paramètres libres de la simulation

La simulation va nous permettre de faire varier différents paramètres du système afin de pouvoir déterminer quelle configuration est la meilleure pour mener à bien l'expérience. Ces paramètres libres sont: la capacité des condensateurs $C$ et leur tension $U$, le nombre de condensateurs $N_c$, la dimension des plaques via le nombre de câbles liés $N$, leur diamètre $h$ et leur longueur $L_{max}$, le rayon de la bille $R$. La variation de ces paramètres va changer la résistance des éléments considérés. Il y a également la masse de la bille $m$ (la masse volumique de l'aluminium étant égale à $2700kg.m^{-3}$, la masse de la bille vaut $2700.4.\pi.R^3/3 kg$), sa position de départ $l$ et le pas de temps de simulation $dt$. Il convient de prendre un pas de temps suffisamment faible afin d'obtenir une vitesse finale qui ne varie plus lorsqu'on change $dt$.