Détails des calculs

Voici les étapes manquantes des calculs pour la détermination du vecteur A(z) :

[ Rappel de l'équation de Navier-Lamé et de la forme de la solution]

∇ 2 u ⃗ + 1 1 − 2 ν ∇ ∇ . u ⃗ = 0 nabla ^2 vec u + {1} over {1-2%nu} nabla nabla . vec u =0 et u ⃗ = e iKx X e iKyY A ( z ) vec u = func e^{iKx X}func e^{iKyY} A(z)

Première partie de l'équation (Laplacien de u) :

∂ 2 u ⃗ ∂ x 2 = A ⃗ ( z ) e iKy Y ( − K x 2 ) e iKx X {partial^2 vec u } over {partial x^2}= vec A(z) func e^{iKy Y} (-K x^2 )func e^{iKx X}

∂ 2 u ⃗ ∂ y 2 = A ⃗ ( z ) e iKx X ( − Ky 2 ) e iKy Y {partial^2 vec u} over {partial y ^2}= vec A(z)func e^{iKx X} (-Ky^2)func e^{iKy Y}

∂ 2 u ⃗ ∂ z 2 = e iKyY e iKxX ∂ 2 A ⃗ ( z ) ∂ z 2 {partial^2 vec u} over {partial z^2}= func e^{iKyY} func e^{iKxX} {partial^2 vec A(z)} over {partial z^2}

Maintenant la seconde partie du premier membre ( grad(div(u)) ) :

1 1 − 2 ν ∇ ∇ . u ⃗ = 1 1 − 2 ν grad ⃗ ( ∂ A1 ( z ) e iKxX e iKyY ∂ x + ∂ A2 ( z ) e iKxX e iKyY ∂ y ∂ A3 ( z ) e iKxX e iKyY ∂ z ) {1} over {1-2%nu} nabla nabla . vec u = {1} over {1-2%nu} vec grad ({partial A1(z)func e^{iKxX} func e^{iKyY} } over {partial x}+ {partial A2(z)func e^{iKxX} func e^{iKyY} } over {partial y} {partial A3(z)func e^{iKxX} func e^{iKyY} } over {partial z})

Et l'on fait le gradient par rapport à x et obtenons :

− Kx 2 A1 ( z ) e iKyY e iKxX − KxKyA2 ( z ) e iKyY e iKxX + iKx ∂ A3 ( z ) ∂ z e iKyY e iKxX -Kx^2 A1(z)func e^{iKyY} func e^{iKxX}-KxKyA2(z)func e^{iKyY}func e^{iKxX} + iKx {partial A3 (z)} over {partial z} func e^{iKyY} func e^{iKxX}

Puis le gradient par rapport à y :

− KxKy A1 ( z ) e iKxX e iKyY − Ky 2 A2 ( z ) e iKxX e iKyY + iKy ∂ A3 ( z ) ∂ z e iKxX e iKyY -KxKy A1(z)func e^{iKxX}func e^{iKyY}-Ky^2 A2(z)func e^{iKxX}func e^{iKyY}+iKy{partial A3(z)} over {partial z} func e^{iKxX}func e^{iKyY}

Et enfin par rapport à z :

iKx e iKxX e iKyY ∂ A1 ( z ) ∂ z + iKy ∂ A2 ( z ) ∂ z e iKx X e iKyY + ∂ 2 A3 ( z ) ∂ z 2 e iKxX e iKyY iKx func e^{iKxX}func e^{iKyY} {partial A1(z)} over {partial z} + iKy {partial A2(z)} over {partial z}func e^{iKx X} func e^{iKyY} + {partial^2 A3(z)} over {partial z^2}func e^{iKxX}func e^{iKyY}

Nous obtenons donc une équation imbuvable que nous avons mis de la forme M (une matrice), multipliée avec le vecteur A(z), donne 0 :

M ∗ A1 A2 A3 = 0 0 0 font sans bold size *1 left[matrix{{}#{} # {}##{} #size *3 M# {} ###{} #{} #{} }right]*font sans bold size*1 left[stack{A1 # A2 # A3}right]= font sans bold size *1 left[stack{0 # 0 # 0}right]

Voici donc l'écriture final :

− Kx 2 − Ky 2 − Kx 2 1 − 2 ν − KxKy 1 − 2 ν iKx 1 − 2 ν λ − Kx 2 − KxKy 1 − 2 ν − Ky 2 iKy 1 − 2 ν λ iKx 1 − 2 ν λ iKy 1 − 2 ν λ − Kx 2 − Ky 2 + λ 2 ∗ A1 A2 A3 = 0 0 0 font sans bold size *1 left[matrix{-Kx^2-Ky^2-{Kx^2} over {1-2%nu}#{-KxKy} over {1-2%nu}#{iKx} over {1-2%nu} %lambda##-Kx^2-{KxKy} over {1-2%nu}#-Ky^2# {iKy} over {1-2%nu}%lambda ###{iKx} over {1-2%nu}%lambda#{iKy} over {1-2%nu}%lambda#-Kx^2-Ky^2+%lambda^2}right]*font sans bold size*1 left[stack{A1 # A2 # A3}right]= font sans bold size *1 left[stack{0 # 0 # 0}right]