Résolution de l'équation de Navier-Lamé

Nous arrivons enfin dans le vif du sujet. Pour arriver à calculer notre déformation élastique,
nous allons résoudre l'équation de Navier-Lamé,ci-dessous, en 3D.

${\nabla }^2\vec{u}+\frac{1}{1-2\nu }\nabla \nabla \mathrm{.}\vec{u}=0$

Nous allons prendre une déformation u de la forme suivante :

$\vec{u}={\mathrm{e}}^{\mathit{iKx}X}{\mathrm{e}}^{\mathit{iKyY}}A(z)$

Nous voulons donc déterminer le vecteur A(z), qui nous donnera la forme de la déformation.

$\vec{A}(z)=\left(\begin{array}{c}\mathit{A1}(z)\\ \mathit{A2}(z)\\ \mathit{A3}(z)\end{array}\right)$

Passons les longs calculs (mais qui sont détaillés ICI pour les intéréssés). Voici le résultat obtenu :

$\left[\begin{array}{ccc}-{\mathit{Kx}}^2-{\mathit{Ky}}^2-\frac{{\mathit{Kx}}^2}{1-2\nu }& \frac{-\mathit{KxKy}}{1-2\nu }& \frac{\mathit{iKx}}{1-2\nu }\lambda \\ -{\mathit{Kx}}^2-\frac{\mathit{KxKy}}{1-2\nu }& -{\mathit{Ky}}^2& \frac{\mathit{iKy}}{1-2\nu }\lambda \\ \frac{\mathit{iKx}}{1-2\nu }\lambda & \frac{\mathit{iKy}}{1-2\nu }\lambda & -{\mathit{Kx}}^2-{\mathit{Ky}}^2+{\lambda }^2\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}\mathit{A1}\\ \mathit{A2}\\ \mathit{A3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$