1. Écoulement Microfluidique

a) Équations de conservation dites de Navier-Stokes

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations qui sont censées décrire le mouvement des fluides "newtoniens" dans l’approximation des milieux continus.

L'équation de conservation de la masse s'écrit :

où ρ représente la masse volumique, et ⃗v , la vitesse de l'écoulement. On écrit l'équation de Navier-Stokes :

où P est la pression, η la viscosité dynamique, et ⃗Fg les forces volumiques extérieures. Ici, comme les effets de surface sont plus importants que les effets de volumes, alors on peut négliger les forces de gravités.

b) Nombres sans dimensions

Plusieurs nombres sans dimensions, sont utilisés pour connaître les caractéristiques d'un système microfluidique.

i) On introduit ainsi le nombre de Reynolds :

Qui compare les effets inertiels sur les effets visqueux. U et L, une vitesse et une longueur caractéristique de l'écoulement.

A cause des dimensions du système, les vitesses d'écoulements sont faibles. On peut donc dire que le nombre de Reynolds est faible aussi. Les effets inertiels sont donc négligeables par rapport aux effets visqueux, on a donc un écoulement laminaire. L'équation de Navier-Stokes se réduit alors à l'équation dite de Stokes en l'absence de forces volumiques extérieures :

Avec ν la viscosité cinématique.

ii) Le nombre capillaire :

Qui compare l'impact des effets de viscosité par rapport aux effets de surfaces. Où γ est la tension superficielle du liquide.

La tension superficielle, est une force qui existe au niveau de toute interface entre deux milieux différents.

Au sein d’un liquide au repos, chaque molécule est soumise à l’attraction de ces molécules voisines. La résultante de ces forces, dirigées dans toutes les directions, est donc nulle. A la surface de séparation entre un liquide et un autre milieu, les forces de cohésion ne présentent plus cette symétrie moyenne : la résultante des forces, normale à la surface est dirigée vers l’intérieur du fluide, n’est compensée par aucune autre force. Cela tend la surface et la déforme comme une membrane élastique.

Photo 1 – Trombone flottant à la surface d'un verre d'eau

iii) Le nombre de Weber :

qui compare les effets inertiels sur les effets capillaires.

Si une goutte a un nombre de Weber important, les effets inertiels seront importants par rapport à la tension de surface, et la goutte ne sera pas stable. La goutte se divisera en plusieurs petites gouttes lors d'un impact par exemple.

c) Ecoulement dans les microcanaux

Figure 1 - Représentation d'un microcanal

On considère le système microfluidique représenté sur la Figure 1. Ce microcanal est composé de 3 longueurs dont l'une domine les deux autres : L >> h,w où h est la hauteur, w la profondeur et L la longueur du microcanal. Ici on a w >> h.

De plus l'écoulement est permanent, on peut donc écrire le champ de vitesse :

Dans ce cas, les équations de Navier-Stokes deviennent :

Or d'après les conditions limites :

On trouve : avec

On a une variation longitudinale de la pression, où Δp est la différence de pression qu'il faut imposer de l'extérieur pour obtenir un débit volumique Q. Pour déterminer ce débit, il faut calculer le champ de vitesse.

Or, la vitesse est nulle sur les parois : u(-h/2)=u(h/2)= 0 On a donc:

En intégrant sur la section on obtient le débit, et on trouve alors la relation entre le débit Q, et la différence de pression Δp :

Ainsi, on remarque que la profondeur du canal h est petite, et plus la différence de pression Δp qu'il faut appliquer pour avoir un débit Q donné est grande.

On peut faire une analogie avec les circuits électriques :

On trouve que :

R est la résistance hydraulique, Δp correspond à la tension U, et Q correspond à l'intensité I . Les règles de calcul de la résistance du système sont les mêmes que celle du circuit électrique. Rappelons que cette analogie est vrai pour un faible nombre de Reynolds (Re << 1).

2. Instabilité de Rayleigh Plateau

L'instabilité de Rayleigh-Plateau est un phénomène très particulier dû à l’importance des forces de surfaces. D'une façons très générale le film est instable, il ondule avec une longueur d'onde λ. Puis les ondulations continuent à croître, et se résolvent finalement en plusieurs gouttelettes. Ce qui pilote l'instabilité est la seule tension de surface du liquide. Afin de connaître le critère de formation des gouttelettes, on calcule la différence d'énergie dE entre la surface modulée et le cylindre dont elle est issue. On voit que l'énergie est abaissée si la longueur d'onde est supérieur au périmètre du cylindre de départ : λ > 2πR .

L'état final de l'instabilité est parfois une succession de petites gouttes dites « satellites». Les satellites proviennent d'une instabilité secondaire entre deux gouttes en train de se former.

Figure 2 – Instabilité de Rayleigh-Plateau

3. Fabrication de gouttes dans un système microfuidique par focalisation d'écoulement

a) Principe de cette méthode

La focalisation hydrodynamique d'écoulement, "Flow Focusing" est utilisée dans les systèmes microfluidiques pour produire des gouttes. Il s'agit d'une jonction en croix comme nous pouvons le voir dans la figure 1.2. Dans cette géométrie, la phase dite dispersée (qui forme les gouttes) est pincée par la phase dite continue (dans laquelle les gouttes sont suspendues).

Figure 3 – Génération de gouttes dans un Flow Focusing

Dans notre cas, le canal central contenant la phase dispersée, ici l'huile minérale, s'écoule avec un certain débit. Les canaux extérieurs contenant la phase continue, ici l'eau, rejoignent le canal central au niveau de la jonction en croix, il s'agit de la zone de production des gouttes (région "Flow Focusing"). A ce moment, la phase continue va pincer la phase dispersée pour donner naissance à une goutte dans le canal de sortie. Selon les conditions expérimentales, il existe différents types de régimes dans un "Flow Focusing".

b) Régime dans un Flow Focusing

Lorsque les débits sont faibles, la taille de la goutte formée est plus grande que celle de l’orifice. Ce régime est appelé "squeezing".

Lorsque les débits augmentent, les dimensions du cou deviennent comparables à celles de l'orifice de sortie, la goutte se détache. dans ce régime, appelé "dripping", les gouttes tendent à être plus petites que l'orifice de sortie.

Pour des débits beaucoup plus importants, le cou se déstabilise en plusieurs gouttes à cause de l'instabilité de Rayleigh-Plateau. Ce régime est appelé "jetting".

Figure 4 – Les différents types de régimes dans un flow focusing. a) : le régime squeezing, b) : Le régime dripping et c) : le régime jetting.