Modélisation

On est parti de la situation physique d'une goutte de pluie qui traverse un nuage et crée un sillage qui influence les petites gouttelettes qui se trouvent dans le nuage, ce qui peut entraîner des collisions entre elles.

Pour pouvoir traiter ce problème on a modélisé ce système et on a fait les simplifications suivantes:

• Le nuage de gaz n'est pas compressible. On a supposé alors qu'on a un fluide incompressible de viscosité $\nu$, décrit par l'équation de Navier-Stokes.

• À la surface de la goutte on a une rotation continue due à la vitesse à laquelle la goutte traverse le nuage, cette rotation dépend de plusieurs facteurs (température, viscosité,...). La vitesse de cette rotation est négligeable devant la vitesse de la goutte, et donc on peut supposé que la surface de la goutte est solide. De plus, on a supposé que l'air a la même vitesse que la goutte et ne glisse pas sur sa surface, ce qui nous permet d'appliquer les conditions de non glissement au bord.

Modélisation théorique

Modélisation du fluide

Nous avons modéliser théoriquement l'écoulement du fluide autour de la grosse sphère, puis les petites particules et leurs collisions dans le sillage. On décrit l'écoulement du fluide autour de la grosse sphère par l'équation de Navier Stokes :

\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t} + u\cdot \nabla u = -\nabla p + \nu \Delta u, \quad \nabla \cdot u = 0 \end{equation} avec $u(x,t)$ la vitesse de l'écoulement et $p$ sa pression.

Modélisation des petites particules

Pour les petites particules injectées dans le fluide, nous avons supposé qu'elles sont beaucoup plus petites que toutes les tourbillons du sillage et suffisamment lourdes. De plus, on suppose qu'elle ont à peu près la même vitesse que le fluide. Ce qui fait qu'on a un écoulement de type Stokes (symétrique et sans sillage) autour de ces particules, et leurs dynamiques et données par la traînée de Stokes :

\begin{equation} \frac{d\,v}{d\,t}=\frac{1}{\tau}(u - v) \end{equation} avec $v$ la vitesse d'une petite particule et $\tau$ une mesure du temps caractéristique que met une petite particule pour accélérer à la même vitesse du fluide et on appelle ce paramètre " le temps de réponse".
Plus ce temps est court plus les petites particules suivent parfaitement l'écoulement et inversement.

Modélisation des collisions entre particules dans le sillage

Maintenant on s'intéresse à la situation où les petites particules contournent la grosse sphère et interagissent entre elles.

Nous supposons que si deux petites particules s'approchent l'une de l'autre d'une distance qui est inférieur ou égale à la somme de la longueur de leurs rayons, on considère que ces deux particules collisionnent et forment une nouvelle particule sphérique de masse égale à la somme des masses des deux particules collisionnées et de quantité de mouvement égale à la somme de leurs quantités de mouvement.

Cette nouvelle particule va aussi suivre la force de Stokes et continue sa trajectoire suivant l'écoulement du fluide, et en cas où elle s'approche d'une autre particule sous les mêmes conditions, il se passera encore une collision avec la nouvelle particule qu'elle a rencontrée pour former une particule plus massive que l' ancienne et ainsi de suite...

Supposons qu'on a injecté dans l'écoulement un certain nombre des particules identiques et qu'il s'est produit des collisions entre elles. En conséquence, on va partir de ce sillage avec un certain nombre de particules qui sera évidemment inférieur au nombre initial des particules et avec des masses et volumes de sorties qui peuvent être différents ou identiques.

Modélisation numérique

Principalement, il fallait résoudre l'équation de Navier-Stokes pour le fluide et l'équation de Stokes pour les petite particules.

Mais comme nous avons introduit au début cela ne fait pas partie de notre stage. Notre travail consiste à traiter et analyser les données des simulations qui étaient faites. ...

Mais grosso modo l'idée pour résoudre les équations de Navier-Stokes numériquement est de faire une discrétisation du problème et comme on ne peut pas connaître la vitesse du fluide partout dans le domaine (trop de particules de fluide), on a introduit une grille et approximé la vitesse en associant à chaque point de cette dernière la valeur de la vitesse correspondante.

Mais dans l'équation de Navier-Stokes on a non seulement besoin d'une approximation de la vitesse mais aussi de sa évolution au cours du temps. C'est comme si on agite un café et à un instant t=0 on prend une photo comme une condition initial et on cherche à avoir la valeur de vitesse plus tard.

Pour discrétiser les termes des équations de Navier-Stokes qui inclus une dérivée spatiale on pourrait utiliser la méthode des différences finies.

Par contre, le code numérique utilisé pour ce travail utilise une autre méthode qui s'appelle la méthode pseudo Fourier spectrale pour approximer les dérivée. Cette méthode nous permet d'avoir une meilleure approximation des dérivées des fonctions. Soit f(x) la représentation réelle, la représentation Fourier est donné par \begin{equation} \widehat{f}(k) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx \end{equation} La dérivée en espace Fourier s'écrit comme: \begin{equation} \widehat{\frac{d}{dx}f(x)} = \int\frac{df(x)}{dx}e^{-ikx}dx = f(x)e^{-ikx}|_{\partial\Omega} - \int f(x)\frac{d}{dx}e^{_ikx}dx = ik \int f(x)e^{-ikx}dx = ik\widehat{f}(k) \end{equation} Et évidemment pour le retour: \begin{equation} \widehat{ik\widehat{f}(k)} = \int ik\widehat{f}(k)e^{ikx} dk = \frac{d}{dx}f(x) \end{equation}

En pratique, le terme non-linéaire est calculé en espace réel et les dérivées en espace Fourier.

Pour changer entre les deux espaces, on utilise une transformation Fourier rapide.