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Partie I: Rhéomètre à fluage plan/plan (rotatif)




Toutes nos mesures ont été effectuées à l'aide d'une géométrie plane de référence PP 35 Ti (géométrie plane de diamètre 35 mm constituée de Titane) 

Ce type de rhéomètre, encore appelé rhéomètre de torsion, est constitué de deux disques parallèles, de même axe Oz, de rayon R, distants de L ; l’un des disques est maintenu au repos, tandis que l’autre est soumis à un couple M (voir figure). 

Sous l’effet de ce couple, la substance ce décompose en couches circulaires, parallèles aux disques solides. 

 
Soit ω(z) la vitesse angulaire de la couche de hauteur z. La vitesse de cisaillement en un point (r, z) est donnée par l’expression : 

ἐ = r  δω/δz 

Si l’on ecrit l’équation fondamentale de la dynamique, relativement à l’élément de volume compris entre r et r+dr, z et z+dz, on obtient ,en négligeant les forces d’inertie : 

τ(r, z + dz) = τ(r,z) 

Soit encore:  δτ/δz = 0

La contrainte ne dépend pas de z ; il en est de même pour ἐ, si bien que l’on peut écrire : 

ἐ(r, t) = r ∂ω/∂z = ω0(t) r/L 

L’expression explicite de τ en fonction du couple appliqué M est obtenue en utilisant l’hypothèse de linéarité ; d’après la relation : 

τ(r, t) =ε(r, t) g(0) + ∫0t  ġ(t-t’) ε(r, t’) dt’ 

Relation que l’on peut encore écrire, d’après : 

                                        τ(r, t) = (r/L) h(t)                              (1) 

Avec : 

h(t) = g(0) φ(t) + ∫0t  ġ(t-t’) φ(t’) dt’ 

Il vient alors, pour le couple M imposé : 

M(t) = ∫0R  2 π r τ(r, t) r dr

        = (2π/L) h(t)  ∫0R  r3 dr

        = π R4 h(t) /  2L 

Comparant avec la relation (1), on obtient finalement : 

                                 τ(r, t) = 2 r M(t) / π R4                            (2) 

Soulignons que, si la relation (1) est toujours valable, la relation (2) n’est satisfaite que dans le cas des matériaux linéaires. 

On a ainsi démontré que, pour un matériau linéaire, la contrainte et la déformation de cisaillement ne dépendent pas de la hauteur z de la couche considérée ; ils dépendent par contre de la distance r à l’axe de rotation : 

τ(r) =2 r M /π R4

ε(r, t) = r φ(t) / L

Partie II: Aspects microscopiques et dynamiques

Cette partie constitue un complément des notions théoriques abordées dans la Section du même nom.

   i) Notion d’hystérésis

L'hystéresis est la qualification donnée à un phénomène qui n'est pas totalement réversible. Pratiquement, l'aimantation d'un solide (a fortiori d'une particule) est soumise à une hystérésis semblable à celle de la figure ci-dessous:

 

Sur ce schéma, B fait référence à l'aimantation de la particule et H est le champ magnétique imposé. Br est l'aimantation rémanente (d'un aimant droit par exemple), qui correspond à celle produite sans champ appliqué et Hc le champ coercitif ou le champ nécessaire à la désaimantation de la particule.

Cela peut se comprendre aisément: nous avons vu dans la Section "Théorie" qu'une particule magnétique de MRF était constituée de domaines de Weiss. Lorsque l'on soumet la particule à un champ magnétique, les domaines de Weiss ont tendance à s'orienter suivant les lignes de champ. Quand on ramène ce champ à une valeur nulle, les domaines de Weiss ne retournent pas totalement dans leur configuration initiale et il subsiste alors une orientation majoritaire des spins au sein de la particule. Ainsi, le matériau possède une aimantation rémanente, même lorsque le champ devient nul. On parle souvent "d'effet de mémorisation" de l'aimantation.
Le protocole expérimental employé pour les fluides magnéto-rhéologiques s'avère donc pertinent: le précisaillement est nécessaire pour briser les chaînes de particules générées par l'aimantation rémanente (et qui entraîne une interaction magnétique "résiduelle"). 
    

   ii) Bilan des forces

Les fluides magnétiques sont le siège de plusieurs forces de cohésion et de séparation. Nous ne cherchons pas à établir leur expression littérale, mais seulement à les présenter.

  1. Les forces de séparation:
  • Le mouvement Brownien et l'agitation thermique :
Ces deux forces provoquent des chocs entre particules, mais confèrent également à celles-ci une énergie qui leur permet de ne pas s'agglomérer les unes aux autres.

  • Force répulsive due au surfactant, propre au Ferrofluide :
Plusieurs sortes de surfactants sont utilisés, mais dans tout les cas, ils constituent une couche protectrice qui repoussent les particules les unes des autres, soit par contact physique, soit par répulsion électronique.

  1. Les forces de cohésion :
  • La sédimentation :
La gravité provoque la sédimentation des particules immergées dans le solvant (via la loi de Stokes). A titre indicatif, il faudrait environ 130 jours pour qu'une particule de diamètre 20 nm (Ferrofluide) chute d'un mètre. On remarque alors que la chute des particules est très lente, et est de plus freinée par d'autres interactions dans le fluide (magnétique...). Le simple fait d'agiter la solution ou d'imposer un champ remet les particules en suspension.


  • L'interaction dipolaire (Ferrofluide) :
Les particules présentant des moments magnétiques, il y a interaction dipolaire entre celles-ci, d'où l'emploi du surfactant.   
  • Les forces de Van der Waals :
Le modèle de Hamaker prévoit que plus deux particules sont proches et plus elles ont tendance à se rapprocher de telle façon que U' = -Ad / 24x

où x représente la distance entre les surfaces de deux particules, d leur diamètre, et A la constante de Hamaker (~ 10-19 J).
Cette force diminue néanmoins rapidement en x6 : pour x petit, la force U' est prépondérante
On endigue cette interaction à courte portée en recouvrant les particules de surfactant.


Un bilan des forces à l'equilibre pour le MRF (négligeant la sédimentation et le mouvement Brownien) appliqué à une particule i permet d'obtenir un système d'équations différentielles régissant l'évolution de la position de la particule i à un instant donné. Ce système peut être résolu numériquement afin d'obtenir la dépendance dans le temps de la position de chaque particule sous l'action d'un champ magnétique. Cette résolution sert entre autres à exprimer la dépendance de la contrainte seuil en fonction du champ magnétique.