Dans le cas de la solution stationnaire homogène, on obtient :
0 = [ -1 + i( |E(t)|² - D ) ] E(t) + S soit
S = [ 1 - i( |E(t)|² - D ) ] E(t)
En prenant le module, on obtient
S² =[ 1+( |E(t)|² - D )²] *|E(t)|²
S² est donc une fonction du module de E au carré soit
S² = [1+ (X-D)²]*X avec X = |E|²
Note : on étudie ici S² en fonction de E car la courbe est plus simple. Pour obtenir E en fonction de S, il faudra juste prendre la courbe symétrique par rapport à la droite y = x .
Un régime est stable lorsque sa dérivé première est nulle soit :
DY/DX = 0 = 1 + (X-D)² + 2X(X-D)
= 3X² - 4X D + D ² + 1
La résolution de cette équation en X donne deux racines distinctes :
X1 = ( 2D + (D ² - 3)½ ) / 3
X2 = ( 2D - (D ² - 3)½ ) / 3
Dans le cas ou D ² < 3, il n’y a aucune solution réelle. La courbe est donc monotone.
Dans le cas ou D ² > 3, les deux racines sont réelles et on obtient un régime bistable.
