Cette partie va servir de référence et de base pour la suite de l'étude nous aurons besoin de nous y reporter pour déterminer la longueur des projectiles dès l'instant où l'on connaîtra le f₀ souhaité. La caractérisation des projectiles élastiques que nous utilisons peut se faire de manière universelle en déterminant leur module de Young. Nous disposons de la fréquence propre (f₀) des projectiles de même concentration en fonction de leur longueur (L). De ce fait, si nous traçons l'évolution de f₀ en fonction de 1/L la tendance devrait être linéaire et le coefficient directeur de la droite nous donne directement la vitesse de propagation de la contrainte dans le milieu, en l'occurrence la vitesse longitudinale v_l.
Ainsi à l'aide de la relation suivante nous relions vitesse et module de Young :

Où ν est le coefficient de Poisson du matériau, E son module de Young, et ρ sa masse volumique

Nous devons calculer le coefficient de Poisson ν de nos projectiles dans le but de déterminer E. Pour ce faire nous de usons la formule suivante :

Schéma 1 : Illustration de l'extension d'un cylindre

En considérant le modèle ci-dessus nous faisons de grosses approximations sur la détermination du coefficient de Poisson. En effet nos gels ne se déforment pas de maniére uniforme, il est donc impossible de mesurer un unique l pour tout le cylindre. De plus il est d'une extrême difficulté de déterminer avec une grande precision les longueurs, la précision maximale est de 1 pixel, nous obtenons logiquement d'importantes incertitudes dans le tableau.

Concentration	10%	15%	20%
ν	0,57	0,56	0,48
Δν	0,13	0,13	0,13

Ceci n'est pas d'une importance capitale pour la suite de l'étude, nous cherchons simplement une estimation du module de Young.
En revanche la figure 8 ci-dessous est elle trés importante, elle nous servira d'étalon pour nos longueurs de projectiles.

Figure 8 : Ci-dessus le graphique représente f₀ en fonction de 1/L pour différentes concentrations

Pour obtenir ces droites nous avons essentiellement travaillé par tronquage de nos projectiles. La tendance linéaire apparaît clairement sur l'ensemble des tracés. Les coefficients directeurs nous fournissent la vitesse longitudinale, nous remontons aisément au module de Young étant donné que la masse volumique ρ est facilement déductible des données du problème. Ainsi :

Concentration	10%	15%	20%
E (kPa)	1,3	1,5	1,8
ΔE (kPa)	0,2	0,1	0,1

Les incertitudes sur le module de Young sont calculées à l'aide de la formule :

Avec



Après vérification nous pouvons affirmer que nos résultats sont cohérents, nous avons trouvé d'autres estimations issuent de diverses sources internet comme celles de l'université de Paris Diderot ci-dessous :

L'intérêt de cette démarche est de caractériser les outils avec lesquelles nous travaillerons. Les premiers résultats de la Figure 8 serviront de références pour la suite de l'étude, en effet dès l'instant où les dimensions d'un matériau ainsi que son module de Young sont connus, la détermination de sa fréquence de résonnance est désormais possible.




L'objectif est de tracer l'évolution du rapport des vitesses v_e/v_p au carré avec v_e la vitesse d'éjection du projectile et v_p la vitesse de la plaque, en fonction du rapport des fréquences f₀/f.




Les mesures effectuées avec les gouttes révèlent un pic pour lequel la vitesse d'éjection est nettement supérieure à la vitesse de plaque le rapport des vitesses v_e/v_p, est nommé α, dans des conditions optimales α = 1.6 ce qui représente 250% de gain en énergie cinétique. Cependant la variation du rapport f₀/f était limitée par la faible marge de manoeuvre de f₀, en effet l'élasticité des gouttes n'est modulable que par leurs tailles. Ainsi les résultats ne recouvraient qu'une partie de la courbe théorique.

En conséquence la répartition homogène de nos résultats fût notre principale préoccupation. La première série de mesure cumulait les résultats de rapport de fréquence f₀ ⁄ f compris entre 3 et 10. Ce qui semblait décrire un pic aux alentours de f₀ ⁄ f ~ 4, il fallu élargir la plage de mesure le plus possible afin d'observer le comportement des projectiles aux limites, f₀ ⁄ f > 10 et f₀ ⁄ f < 3.
Les petits rapports ont été obtenus par une combinaison de facteurs. Tout d'abord l'augmentation de la taille des projectiles, nous l'avons doublé, cette dernière est passée de 15mm à 30mm, ce qui a eu pour effet de diviser par un facteur variable f₀. D'après la FIgure 8, le facteur deux sur la longueur semblait être un bon compromis entre la diminution de fréquence et le flambage** des projectiles de faible module de Young, le raisonnement menant à cette hypothèse est disponible en annexe. Puis nous avons diminué la distance entre les étaux afin d'augmenter la raideur du clinquant et donc augmenter f.
Les grands rapports ont eux été plus compliqués à obtenir mais le processus est semblable, une réduction de la taille des projectiles allant jusqu'à 15/4 mm, cumulé à une augmentation du pourcentage de gélatine atteignant la limite de solubilité soit 30%. Nous avons de surcroît laissé sécher les projectiles afin qu'ils s'endurcissent un peu plus. Enfin nous avons diminué f jusqu'à 27 Hz, ce qui représente la limite tolérée dans le souci de conserver une accélération initiale correcte.

Figure 10 : Ci-dessus les résultats de toutes les séries de mesures (En noir : cylindres droit verticaux; En rouge : cylindres horizontaux série réalisée a posteriori)

Les résultats montrent la prédominance d'un pic pour lequel les vitesses d'éjections sont bien supérieures aux vitesses de plaque, 1.6 fois plus rapide. Ce qui était déjà visible dans le modèle des gouttes.
Cependant il semblerait qu'un second pic certes plus petit que le premier apparaîsse aux alentours de f₀/f = 15.

La caractérisation théorique du systéme catapulte projectile a rendu possible sa modélisation numérique. Pour ce faire il a fallu décrire deux sortes de modèle. Le premier simpliste consiste en la modélisation d'un ressort éjecté par plaque oscillante. Ce dernier démontre bel et bien l'effet de "super" projection cependant le facteur α représentant le rapport de la vitesse d'éjection sur la vitesse de la plaque est moindre que celui observé expérimentalement, cela vient du fait que le milieu fût considéré comme un ressort classique et homogène ce qui induit qu'en théorie la déformation subit par le ressort est homogéne. Or il apparaît clairement que la contrainte se propage dans le matériau ce qui implique la notion de temps de propagation et une inhomogénéité de la déformation. Au vue des différences trop importantes entre ce modèle et les résultats expérimentaux, il fût délaissé au profit d'un second, modélisant non plus un ressort mais une chaîne infini de ressort. Cette approximation prend en compte la propagation de la déformation dans le milieu ceci s'avèrera bien plus prolifique en terme de cohérence avec les résultats expérimentaux, le rapport optimum α se situant cette fois-ci aux alentours de 1.6.

Voici le schéma de la modélisation, nous considérons un matériau de longueur L au repos, où u(x,t) représente le déplacement du matériau et la déformation auquel il est sujet, a symbolise la position du sommet du projectile, nous obtenons :

Figure 11 : Détail du déplacement du gel

L'image a) est à t=0 et x=0 ; b) u(0,t) le mécanisme est déclenché, le bas du projectile a subi un déplacement mais pas le haut ; c) illustre un instant ultérieure à la demie péiode de propagation le sommet du projectile a lui aussi subi un déplacement ; et enfin d) l'instant justre après le décollage.

La modélisation numérique du modèle continu est issue de la résolution de l'équation d'onde, "la physique" contenue dans ce problème dicte les conditions limites suivantes :

En x = 0, tant que le projectile repose sur la plaque la catapulte lui impose un mouvement oscillatoire ainsi :

En x = L, la déformation arrive sur une interface matériau/air, une interface libre, la dérivé du déplacement est nulle :

La condition de décollage est la même que celle présentée dans le rapport, à savoir lorsque la réaction du support vaut zéro. En d'autre terme lorsque la déformation s'est propagée dans le matériau, décrivant un aller-retour elle se trouve de nouveau à la postion x = 0. Cette fois-ci la condition limite imposée par la plaque est un déplacement nul de la paroi. Ne pouvant poursuivre sa propagation en l'occurence l'extension du matériau elle communique une impulsion et le projectile décolle. Physiquement l'équilibre des forces représentées par la déformation doit être respecté, celle de la plaque vers le haut ou les x positifs, et en opposition avec celle de l'onde réfléchie vers le bas ou les x négatifs, ce qui induit une résultante nulle, on peut caractériser cet instant "d'impulsion" de l'objet sur la plaque qui implique logiquement le décollage de ce dernier, dans une telle situation le décollage est corrélé avec l'annulation de la réaction du support. Nous retrouvons la condition limite :

Il est désormais temps de comparer nos résultats expérimentaux au modèle théorique explicité ci-avant. La prédominance d'un pic était prévisible, mais il est important d'observer l'ensemble du comportement de nos mesures afin de valider définitivement la généralisation du modéle théorique.
L'ajout des résultats expérimentaux à la courbe théorique fournit le graphique ci-dessous:

Figure 12 : Modéle théorique n°1 et résultats expérimentaux

Les résultats inédits correspondent aux points se trouvant dans les intervalles [0;2.5] et [8;40].
Les mesures sont en accord quasi parfait avec la courbe théorique sur l'intervalle [0;10]. La très faible dispersion de l'intervalle [0;4] est dû au fait que les faibles fréquences sont plus faciles à observer avec précision que celles plus élevées, la détermination des vitesses sur le diagramme spatio-temporel est elle aussi plus aisée sur des projectiles de grandes tailles. Plus importante lors de la décroissance de la courbe, la dispersion demeure toutefois acceptable dans cette région.

Il est important d'expliquer en quoi le rapport des fréquences est le paramètre décisif dans la valeur de α. Nous avons rappellé que les premières observations soulevaient une différence du temps de décollage de l'objet. Ce temps caractéristique τ correspond physiquement au temps que va mettre la déformation pour effectuer l'aller-retour explicité ci-avant, τ est donc la période de la propagation de la déformation. La pleine puissance est attendue pour τ = T/4, avec T la période de la plaque. La valeur de T/4 devrait être celle fournissant la puissance maximale au projectile il s'avère que c'est à cet instant que la plaque atteint sa vitesse maximale. La variation de τ par rapport à T implique implicitement une variation de f₀ par rapport à f, c'est en quoi réside toute l'importance de ce rapport.

Cependant les conditions optimales d'éjection ne correspondent pas à τ = T/4, mais à un temps supérieur. Détaillons le phénomène, la vitesse d'éjection est issue de la composition des vitesses de la plaque et du centre de masse de l'objet. L'objet décolle de manière optimale pour f₀/f < 4 donc τ > T/4. Il s'avère que les conditions optimales correspondent au moment où la vitesse du centre de masse = v_p et non pour v_p maximale. En résumé τ doit coïncider avec l'égalité de la vitesse de la plaque et du centre de masse pour que le jet soit optimal. Ce phénomène n'est pas encore bien compris.

Revenons à la Figure 12, si nous regardons les résultats obtenus pour les grands rapports, ceux situés au delà de 10, la courbe théorique ne correspond plus du tout au modèle décrit par l'expérience.
Cette observation nous pousse à la réflexion afin de comprendre l'origine de cette bifurcation et pouvoir ainsi la solutionner numériquement. La divergence est normale et était attendue, il est en effet impossible que les projectiles disposant d'un f₀ >> f aient une vitesse égale à zéro. Les hauts rapports de fréquences sont cencés représenter le jet d'un corps solides, pour lesquels ce rapport tend vers l'infini. Comme il fût démontré durant l'étude préliminaire le rapport des vitesses devrait tendre vers 1.



La tendance qu'adopte les résultats expérimentaux n'est pas intuitive au premier abord. La limite de 1 lorsque le rapport tend vers +infini n'est pas remise en question, il faut cependant expliquer l'observation de ce deuxiéme pic. Après avoir soigneusement revisionné toutes ces vidéos, deux d'entre elles ont retenu notre attention, ces vidéos mettaient en évidence un rebond du projectile avant le décollage. Ces films sont visibles en annexe.
Ce phénomène de rebond s'explique à l'aide du paramètre f₀. Les projectiles qui se situent dans cette région sont de petites tailles et assez durs de sorte que leurs fréquence propre soit élevée.
f₀ >> 1 implique τ << 1. La période de la contrainte dans le matériau est par conséquent extrêmement rapide, ce qui entraîne un décollage du projectile prématuré, il est éjecté de la plaque bien avant T/4 avec une vitesse inférieure à celle de la plaque encore en phase d'accélération, il est logiquement rattrapé par cette dernière. Ce mécanisme a pour conséquence l'apparition d'un micro-rebond du projectile ainsi qu'une réaccélération de ce dernier par la plaque qui est traduit graphiquement par l'apparition de ce second pic de vitesse.
L'élaboration de cette seconde courbe théorique fût réalisée en collaboration avec un chercheur danois. La physique du modèle reste la même, afin d'illustrer les rebonds il a fallu recourir aux différences finies sur les équations de propagation et notamment sur les conditions aux limites. Cette méthode mathématique a pour fonction de "mailler" le mouvement dans l'idée d'une meilleure description de ce dernier.

L'ajout des points expérimentaux sur ces courbes théoriques fournit le graphique suivant sur lequel les points circulaires bleu representent les projectiles cylindriques, les triangulaires noirs symbolisent les jets de cylindres couchés, ils ont été mesuré à posteriori, la courbe noire illustre la nouvelle courbe théorique :

Figure 13 : Courbes théoriques n°1 et n°2 et mesures expérimentales

Les résultats sont cette fois-ci parfaitement cohérents avec la courbe théorique et ce sur l'ensemble des mesures effectuées. A l'exception d'un point situé aux alentours de f₀/f = 17.5. Ce point a en fait été mesuré a posteriori lors du revisionnage des films. Il correspond non pas à la vitesse d'éjection finale de la gélatine mais à la première vitesse celle du départ prématuré d'un point se situant plus haut. Nous observons bel et bien que la position de ce point suit la décroissance de la première courbe théorique. Nous n'avons pû malheureusement détecter qu'un seul point présentant cette caractéristique, car sur les autres vidéos la première vitesse d'éjection n'était pas mesurable, le rebond étant trop infime pour être discernable.

L'approfondissement de l'étude a permis de confirmer les observations faites au préalable sur les gouttes mais aussi et surtout de déceller un nouveau comportement des projectiles pour les rapports de fréquences les plus élevés. Ceci témoigne bien de la généralité du modèle de la théorie de super-propulsion des objets élastiques.
Des informations complémentaires sont disponibles en se référant à l'annexe.

Principe et Expérience de la photoélasticité***

La photoélasticité est une technique utilisée en physique afin de visualiser les contraintes subies par un matériau. Pour celà elle s'appuie sur un phénomène optique, la biréfringence. Sous l'effet d'une contrainte l'indice de réfraction du matériau varie localement, cette différence d'indice induit un retard de chemin optique (δ) entrainant un phénomène d'interférence en sortie du milieu c'est la biréfringence accidentelle. Une lumière plane polarisée et tranversant un milieu biréfringeant va se scinder en deux ondes planes polarisées autonomes l'une par rapport à l'autre, mais qui sont toutefois déphasées à la suite de la différence de chemin δ, ce qui rend les interférences possible.

Le déphasage entre les deux composantes de l'onde est proportionnel à la différence entre les contraintes prinicipales et l'épaisseur du matériau. La différence entre les contraintes principales est directement liée à la différence d'indice, ainsi les images obtenues avec de la lumière blanche présentent des irisations colorées (voir les vidéos sur la polarisation en annexe).

n : indice de réfraction
k : nombre d'onde
σ : contraintes principales
d : épaisseur du matériau
c : célérité de l'onde dans le milieu

Il existe différents procédés de photoélasticité. La photoélasticité par réflexion ou par transmission cette dernière se pratique sur des modèles transparents à deux ou trois dimensions, c’est ce procédé que nous utilisons pour nos observations.

La visualisation des contraintes dans un milieu biréfringeant accidentel met en évidence des lignes à l'intérieur du matériau. Les isoclines et les isochromes, ces lignes vont respectivement indiquer l'orientation et l'intensité des contraintes.

La contrainte est proportionnelle à la déformation en fonction du module de Young.
Notre montage est un polariscope circulaire usant deux polariseurs circulaires en position parallèle, le schéma ci-dessous est équivalent car l'ajout des lames quart d'onde après le polariseur linéaire agit comme un polariseur circulaire, cette configuration permet d’éliminer les isoclines pour observer uniquement les isochromes, utiles dans l'estimation de la déformation. Leur répartition ne dépend que de la distribution d’intensité des contraintes.



Figure 14 : Détails du montage de polarisation

L’utilisation de la caméra rapide couleur nous permet de visualiser la propagation dans le matériau et ainsi comprendre son influence sur son décollage. Pour un même ordre, les lignes de même couleur représentent donc des distributions d’égale déformation. Les isochromes vont se déplacer avec l'augmentation de la charge et se multiplier.

Figure 15 : Ci-dessus le décollage d'un projectile cylindrique couché. La déformation est telle, qu'il est possible de visualiser l'ordre 2. (vidéo en annexe)

Nous avons débuté par observer la propagation dans les cylindres droits. Le fait que l'interface ne soit pas planne provoque des perturbations dans la propagation de la lumière ce qui est dû à la réfraction, en conséquence la lumière n'est pas transmise sur les cotés. La propagration n'est donc visible qu'au centre du cylindre. L'utilisation d'un objet de forme cylindrique se révèle intéressante car elle est en adéquation avec la théorique d'un modèle de propagation à une dimension, dans la limite des rayons infiniment petit.

Nous décidons de faire varier la géométrie des projectiles et d'en observer les impacts sur la propagation et d'en analyser les éventuelles répercutions sur le décollage. Pour celà la deuxième forme adoptée est le cylindre couché tous de même hauteur et de même module de Young mais de diamètre variable, ces derniers présentent l'avantage d'avoir des interfaces plannes, la visualisation de la déformation est donc plus aisée. Nous conservons de ce fait la propagation à une dimension.


Figure 16 : Gels cylindriques de diamètre variable couchés et droits
Les résultats obtenus avec ces nouveaux projectiles sont representés dans la Figure 14 par les marques triangulaires de couleur noire. Il apparaît immédiatement qu'aucune différence significative n'est perceptible entre les jets de cylindres droits et de cylindres couchés. La propagation ainsi que les conditions limites qui régissent le décollage de l'objet semblent similaires entre ces deux exemples. Le fait que la contrainte se réfléchisse sur une surface circulaire au lieu de planne n'impacte ni sur sa période τ ni sur sa vitesse d'éjection v_e.
La conservation des symétries par rotation, par translation, du modèle peuvent en être la cause.
La troisième forme conçue est le paraléllépipède, cependant ce modèle a rencontré quelques difficultés lors du démoulage des gels dûes à un mauvais état de surface du moule, ce qui dégradait l'état général des projectiles et n'en faisaient pas de bons outils pour l'étude. Ce qui est dommage car la présence d'arrêtes aurait contribué à la perte de la symétrie, son influence aurait certainement pû être mesurée.

Expériences et observations sur diverses coupes

Figure 17 : Comparaison de la contrainte dans différentes géométries

De haut en bas il est possible de voir l'évolution chronologique du catapultage de trois objets de formes différentes.
La première ligne correspond à l'instant t=0 seul le poids agit sur l'objet.
La deuxième ligne t>0 la plaque vient comprimer le projectile.
La troisième ligne quant à elle illustre le décollage des trois gels.

Nous avons soignement contraint la propagation dans ces objets de diverses manières. De gauche à droite, nous retrouvons en premier le cylindre de diamètre 20mm, percé à l'aide de deux tiges de métal. Puis vient un gel de même diamètre tronqué de sorte à former un triangle. Et enfin le dernier cylindre est percé en son centre par une tige métallique de masse plus importante que les deux employées dans le premier cylindre.

Nous observons bien évidemment que toutes ces modifications imposent une contrainte à l'objet méme s'il est encore au repos. Chacune de ces formes présente un intérêt. La première, la plus à gauche présente deux obstacles massiques parallèles au plan d'émission de la déformation. La deuxième modification est purement géométrique. L'objectif et ici d'observer comment la réflexion peut elle être modifiée par cette nouvelle forme qui diffère du modèle cylindrique à une dimension jusqu'à lors utilisée. Enfin la troisième modification a elle aussi recours à une tige métallique pour obstruer en partie la propagation de la déformation, elle présente donc le même intérêt que la première cependant les observations devraient différer entre ces deux objets du fait de la multiplicité des tiges.

Il s'avère que ces trois objets nous fournissent trois images de contraintes bien différentes. Les deux tiges vont concentrer la contrainte au centre du gel, ce qui est en corrélation avec le décollage obervé sur le film ce dernier ne disposant pas d'un plein retour de déformation il resta limité. Il en est de même pour la tige centrale, la contrainte est séparée en quatre, le décollage bien qu'un peu plus efficace que le précédent deumerera très limité. Et enfin contre toute attente la taille imposée à la surface de réflexion du gel n'a pas perturbée le retour de l'onde, cette derniére aurait pû être déviée, pertutbé mais rien de celà a été observé de manière significative. Seul un léger déplacement de l'épicentre des isochromes a pû être observé.

Cette partie représente une perspective d'étude pour ce projet, tant au niveau des applications qu'au niveau de la recherche fondamentale. Nous avons tout de même tenu à effectuer quelques jets de gels bicomposites ainsi que des gels à gradients d'élasticités afin de présenter leurs comportements.

À travers les projectiles à gradients d’élasticités nous avons cherché à observer les spécificités de ce modéle dans la propagation de la contrainte. Nous avons confectionné deux gradients le premier est un couple 5 et 20 %, le second un couple 10 et 20 %. Les séquences de lancement sont visibles ci-dessous :

(20/5) et (5/20)

Ces photos illustrent le couple 5 et 20% que nous avons disposé selon deux orientations, le 5% en bas appelé (20/5) sur la séquence de gauche et le 5% en haut appelé (5/20) à droite. Le temps s'écoule de haut en bas. Ces évènements sont corrélés temporellement par ligne. Chaque ligne illustre respectivement, la compression, le décollage, et l'envol du projectile.
Nous observons l'apparition d'un phénomène de transmission et de réflexion de la contrainte. La transmission est plus visible dans le jet du (5/20). La vidéo du couple 10 et 20 % est disponible en annexe.
Une comparaison entre projectile "classique" et à gradient pourrait se révéler intéressante. Elle mettrait très certainement en évidence de nouvelles propriétés d'optimisation pour cette catégorie de solides élastiques.

La seconde perspective abordée est la projection d'objet bicomposite. Ces derniers sont constitués d’une base en gélatine de concentration 15% et d'une partie supérieure en aluminium. Précédemment nous avons explicité l’existence d’une taille optimale pour une concentration et une fréquence de plaque données, nous nous attendons à retrouver ici des paramètres d'optimisation semblable. Mais nous tenons à observer l'influence que peut avoir la partie supérieure en aluminium. Cette partie va ajouter une masse au projectile, et modifier la condition limite de réflexion de l'onde, ainsi que probablement la fréquence propre des projectiles. Nous avons lancé trois bicomposites avec des rapports gel/aluminium différents. Le projectile de gauche et le central ont la même hauteur, nous regardons si le rapport gel/aluminium impacte sur nos attentes. Le central et celui de droite ont la même hauteur de gel :

Figure 18 : Photo de trois projectiles bicomposites issue de la vidéo en annexe

Pour visualiser le lancer voir la video en annexe.
La catapulte est réglée pour que la hauteur de gel du projectile centrale et de gauche n'influe pas sur la hauteur des lancers. Dans l'annexe vidéo nous avons réalisé un lancer avec différentes hauteurs de gel de même concentration et de même fréquence de catapulte. Les gels les plus à droite atteingnent la même hauteur, nous les avons donc sélectionné pour cette comparaison entre bicomposites.
Cette fois-ci dans le lancer des bicomposites, une différence de hauteur est remarquable, le gel central va plus haut. L'ajout de l'aluminium a donc pû causer cette différence. Nous observons aussi que le gel centrale va plus haut que celui de droite, donc ce n'est pas uniquement la masse de l'aluminium qui provoque ce phénomène.

Il est important de préciser qu’aucune étude quantitative n’a été réalisée sur ces deux perspectives par manque de temps. Elles permettent néanmoins de présenter de nouvelles voies de recherche.




Références en annexe :
- Module de Young*
- Flambage**
-Photoélasticité***