Les Modes :
Les fréquences de résonances :
Une salle possède de nombreuses caractéristiques et diverses architectures pouvant déterminer si elles possèdent ou non une qualité acoustique particulière. Les dimensions uniques de ces espaces clos engendrent des fréquences de résonances et une réverbération qui sont propres à la salle. Ainsi, L’étude de ses modes de résonances demande pour chacunes d’entre elles un travail particulier.
Les fréquences modales sont les valeurs caractéristiques pour lesquelles l’énergie, provenant de la source sonore, est plus concentrée qu’à d'autres endroits de la pièce. Ces distributions d’énergies complexes existent dans un espace tridimensionnel dans toutes les pièces, chacune traduisant la présence d’un mode particulier.
Lorsque les dimensions de l’enceinte ne sont pas petites par rapport à la longueur d’onde, un calcul correcte des champs sonores peut être fait avec l’équation d’onde. Pour la détermination des modes, il convient d’étudier le champ sonore dans l’espace et de discuter de la distribution de la pression acoustique spatiale. Ces solutions sont facilement trouvées pour des géométries mathématiquement simple ou élémentaire telle que les boites rectangulaires et les sphères. L'équation des fréquences de résonance en découle et détermine la fréquence à laquelle s'exprime tous les modes.
$$f=\frac{c}{2} \sqrt{\frac{p^2}{L^2}+\frac{q^2}{W^2}+\frac{r^2}{H^2}}$$
Le champ sonore se déplaçant dans tout l’espace, plusieurs types de modes peuvent être observés. Les modes axiaux, tangentiels et obliques traduisent tous un type de déplacement possible au sein de la pièce.
Les variables L, W, H traduisent respectivement la longueur, la largeur et la hauteur de la boite. Les opérateurs p, q, r permettent de distinguer l’ensemble des modes possibles, ils doivent cependant être entier afin de décrire une pièce. On peut ainsi déterminer pour un mode précis avec la fréquence de résonance qui lui est associé dans la pièce.
La densité modale :
L’identification des modes à base d’un spectre est un processus simple seulement pour une certaine gamme de fréquence. En effet lorsque les modes sont espacés, on peut grâce à l’équation des fréquences de résonances facilement les distinguer et les identifier, mais dès qu’ils se chevauchent on ne peut plus savoir quels modes sont exprimés et si certain sont dissimulés par d’autres plus puissants. La densité sera ainsi déterminante pour une identification. À basse fréquence, les modes sont différentiables mais pour une gamme de fréquence plus élevée, on devra alors faire appel à une autre approche (vision statistique).
La densité modale augmente avec la fréquence choisit et également avec le volume de la pièce considérée. Le nombre moyen de résonance dans une salle rectangulaire peut être approximé par cette équation :
$$N(f)=\frac{4\pi}{3}V(\frac{f}{c})^3 + \frac{\pi}{4}S(\frac{f}{c})^2 + \frac{l}{8}\frac{f}{c}$$
c : vitesse du son , Volume de la salle : V = (L * W * H)
Surface totale : S = 2*(L * W + W * H + L * H) , longueur des bords : l = 4*(L + W + H)
La densité s'obtient en dérivant cette quantité afin de connaitre le nombre moyen de résonance dans une certaine bande de fréquence.
$$\frac{dN(f)}{df}=4\pi V\frac{f^2}{c^3} + \frac{\pi}{2}S\frac{f}{c^2} + \frac{l}{8c}$$
L’étude de la densité met en évidence le fait que les résonances sont plus importantes dans des salles à petite dimension lorsque la densité est faible. À l’inverse, une grande pièce engendrera une densité plus forte (sauf pour les très petites fréquences) et des résonances avec un impact moins fort que précédemment.
Comme évoqué plus haut, si la densité est trop élevée par rapport à la largeur des modes, leurs identifications devient impossible. Les seuls quantités utilisables sont donc la densité modale et le temps de réverbération, on entre alors dans une description statistique des phénomènes.
Le recouvrement modal :
Les modes normaux (perpendiculaire à la surface d'une facette) déterminent les résonances de la pièce, on definit la bande passante d'un mode comme l'ensemble des points à la demi-puissance (-3 dB) se trouvant de part et d'autre du "pic" d'un mode. La bande passante est reliée au temps de réverbération de la salle par la relation suivante.
$$T = \frac{2,2}{\Delta f}$$
Dans une salle bien isolée et sans perturbation sonore à l’intérieur, le temps de réverbération est sera plus élevé, ce qui conduit à une bande passante faible.
Le recouvrement modal est une quantité traduisant le nombre moyen de mode présent dans une certaine bande passante, sous l’hypothèse très réductrice que chaque mode est excité seulement si la fréquence de la tonalité pure est dans une bande passante de largueur 2.2/T centrée sur la fréquence propre du mode.
$$M(f)= \frac{dN(f)}{df} \Delta f = ( 4\pi V \frac{f^2}{c^3} + \frac{\pi}{2}S\frac{f}{c^2} + \frac{l}{8c} ) \Delta f$$
L’équation du recouvrement permet de quantifiée de manière plus précise l’amassement de ces modes à certaines fréquences. Lorsqu'on se place dans le cas de hautes fréquences, les largueurs des bandes passantes de chaque mode empêchent de les distinguer, la réponse de la salle est continue. On observe ce problème dès que l’espacement entre les modes est inférieur à environ un tiers de la largeur de bande de chaque mode.
La fréquence de Schroeder est la valeur au-dessus de laquelle les modes ne sont plus distinguables les uns des autres, le recouvrement devient trop élevé conduisant à appliquer une approche statistique. Au-delà de cette fréquence le recouvrement modal vaut approximativement trois.
$$fs= 2000 \sqrt \frac{T}{V}$$
Cette fréquence marque la transition entre une étude classique portée sur l’identification des modes grâce au spectre du signal et l’approche statistique de leur identification dés lors que la réponse de la salle est trop dense pour permettre d'observer les modes clairement. Pour cette fréquence particulière, le recouvrement dépasse approximativement 3.(détails des unités dans notre compte rendus).