Frottements solides

De part le contact entre la bille avec les plaques et le rail en plexiglas, des forces de frottements cinétiques apparaissent. Ces forces dépendent du coefficient de frottement cinétique $\mu_{c}$ qui varie suivant le type des matériaux en contact et du poids apparent $N_{a}$ du corps sur la surface considérée: \begin{equation}f_{c} = \mu_{c}.N_{a}\end{equation}
Frottements fluides

La bille se déplaçant dans l'air, il apparait une force de trainée qui s'exerce sur la bille. Cette force va dépendre (son expression est purement empirique) de la masse volumique $\rho$ de l'air, du coefficient de trainée $C_{x}$, du maître couple $A$ et de la vitesse $V$ de la bille par rapport à l'air (on considère l'air immobile dans notre expérience puisque nous serons dans une salle fermée): \begin{equation}f_{f} = \frac{1}{2}.\rho .C_x.A.V^{2}\end{equation}

Evolution de l'intensité au cours du temps dans le système

Soit un condensateur de capacité $C$ branché au système composé des deux plaques de résistance $R_p$ et du projectile de résistance $R_b$. Le condensateur applique une différence de potentiel $U(t)$. On fait l'approximation que le courant se répartit uniformément dans les plaques et dans la bille.
La variation de la quantité de charges dans le système au cours du temps est donnée par l'intensité: $I(t) = \frac{dq(t)}{dt}$. La charge totale dans le condensateur est donnée par: $q(t) = C.U(t)$. Cette dernière étant conservée, il est évident que la charge qui sort des condensateurs est égale à l'opposé de celle traversant le système, d'où: $I(t) = -C \frac{dU(t)}{dt}$. De plus, la loi d'Ohm donne de manière générale pour une résistance $R_e$: $U(t) = R_e.I(t)$. D'où l'équation différentielle du premier ordre: \begin{equation*}\frac{I(t)}{R_e.C} + \frac{dI(t)}{dt} = 0\end{equation*} Dont la solution est: \begin{equation}{I(t)} = I(0)e^{\left( -{t}/{R.C} \right)} \Leftrightarrow I(t) = \frac{U(0)}{R_e}e^{\left( -{t}/{R_e.C} \right)}\label{intensité}\end{equation} Dans notre cas la résistance $R_e$ doit être remplacée par la somme des résistances du système. Donc on a $R_e = R_b + R_b + R_a$ où $R_a$ est la résistance de contact entre la bille et les plaques. C'est la résistance de la couche d'air située entre ces deux éléments.
Dans nos expériences la tension aux bornes des armatures sera la tension au temps $t = 0$, on pose donc $U(0) = U_{0}$. Dans cette section et les suivantes on ne fera pas de distinctions entre un et plusieurs condensateurs du même type, si on a $N_c$ condensateurs la capacité est simplement $N_c.C$.

Résistance du système

Bien que l'air soit un isolant en temps normal, lorsqu'il est soumis à un fort champ électrique, comme dans notre expérience, il se ionise et permet le passage du courant électrique, c'est ce qu'on appelle le claquage. Nous n'avons pas pu mesurer la résistance de notre système du fait de la couche d'air entre les plaques et la bille.
En effet un omhmètre applique une très faible différence de potentiel aux bornes du lanceur, or l'intensité du champ disruptif (le champ limite avant le claquage de l'air) est de $36 000 V.cm^{-1}$. Si on considère que (au vu de la qualité des découpes des matériaux) la couche d'air est épaisse de $100 \mu m$ il faut donc appliquer une tension de 360V (ce qui, comme nous le verrons par la suite, est de l'ordre de grandeur de la tension de nos condensateurs).
Cependant nous avons pu trouver les résultats d'une expérience similaire au niveau de la structure où des mesures de la très haute intensité parcourant le système et de la tension ont pu être faites . Dans cette expérience l'intensité initiale valait 400kA et la tension était de 330V. La résistance totale (résistance de contact comprise) est donc égale à $R_a = U / I = 0,8.10^{-3} \Omega$. C'est la valeur que nous prendrons pour nos simulations.
Mais la résistance du métal n'entre quasiment pas en jeu, le plus important est la résistance de contact de l'air au moment du claquage.

Energie stockée par un condensateur

Lorsqu'il est chargé un condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique. Cette énergie dépend de sa capacité $C$ et de la tension aux bornes de ses armatures $U_{0}$: \begin{equation}E_{c} = \frac{1}{2}.C.U_{0}^{2}\end{equation}

Effet Joule induit par le lanceur

Lors du passage du courant électrique dans les plaques et la bille, l'effet Joule va dissiper l'énergie électrique sous forme de chaleur, augmentant la température du conducteur considéré (ce qui est mesurable avec un calorimètre). Cet effet va donc diminuer l'énergie cinétique finale de la bille. L'énergie dissipée entre un temps $t$ et un temps $t+dt$ va dépendre de la résistance traversée $R_e$ et de l'intensité du courant électrique: \begin{equation*}E_{j} = R_e.\int_{t}^{t+dt}{I(t)^2}\end{equation*} D'où en utilisant l'expression de l'intensité en fonction du temps et en intégrant entre $t$ et $t+dt$: \begin{equation}E_{j} = \frac{-C.U_{0}^{2}}{2}.\left[e^{-2.t/R_e.C}\right]_{t}^{t+dt} = E_{c}.\left[e^{-2.t/R_e.C}\right]_{t+dt}^{t}\end{equation}