Les données spectroscopiques de [12] m'ont permis de récupérer les valeurs de la vitesse radiale associée au premier moment de la raie, VRc. L'utilisation de la vitesse radiale associée au premier moment de la raie (au lieu de prendre la longueur d'onde associée au minimum de la raie par exemple) permet de s'affranchir de certains biais [12] et donne un bon signal à bruit.
La VRc se calcule de la façon suivante :

La vitesse radiale associée au premier moment de la raie est en fait l'aire sous la raie étudiée. Elle prend en compte l'asymétrie des raies.

A l'aide de cette vitesse, on obtient donc le graphe suivant :




FIGURE 7 : Vitesse radiale associée au premier moment de la raie en fonction de la phase.


Comme nous avions fait l'hypothèse forte que la Céphéide l Car ne possèdait pas de variations cycle à cycle, les données, ici, constituent 2 cycles différents mélangés.

Afin de trouver de manière précise la distance de la Céphéide, j'ai réalisé un ajustement par moindre carré. Pour ce faire, j'ai dans un premier temps interpolé la vitesse radiale associée au premier moment de la raie.  J'ai ensuite calculé la vitesse pulsante à l'aide du facteur de projection par la formule :



avec p=1.19. Cette valeur a été déterminée à partir de la relation entre la période et le facteur de projection déterminée par Nardetto et al. (2009) [7].



Qu’est-ce que le facteur de projection ?

À partir de l’étude des raies spectrales, nous pouvons obtenir de nombreuses informations comme par exemple la vitesse pulsante photosphérique, l’effet de turbulence, l’assombrissement centre bord, la vitesse de rotation, etc. Toutes ces informations sont rassemblées dans une quantité supposée constante avec la phase de la Céphéide : le facteur de projection p, qui vaut p = V puls / V rad . Il permet de convertir la vitesse radiale (Vrad) en vitesse pulsante (Vpuls).
Si ce facteur possède une erreur de 5%, cela implique également une erreur de 5% dans la détermination de la distance de la Céphéide. Jusqu’en 2000 environ, les chercheurs utilisaient p=1.36 (Burki et al. [15]), mais cette valeur ne prenait pas en compte la dynamique atmosphérique de l’étoile, elle était purement géométrique.



FIGURE 8 : Le facteur de projection (Crédits : Thèse de Nicolas Nardetto [11])


Le facteur de projection permet de retrouver la vitesse pulsante de l’étoile à partir de la vitesse que nous mesurons par spectrométrie. Pour le spectrographe, seules les projections des vitesses selon l’axe de visée sont mesurées. En réalité, l’étoile pulse radialement. Le facteur de projection est donc essentiel pour connaître la vitesse pulsante de l’étoile.

Ensuite, par intégration temporelle de la vitesse pulsante, j'ai trouvé la variation de rayon suivante :



FIGURE 9 : Variation de rayon en fonction de la phase, calculée à partir de la vitesse radiale associée au premier moment de la raie.


Après avoir enregistré les points de variations de rayon dans un fichier, je réalise un ajustement par moindre carré, à partir des données interférométriques VINCI/VLTI du diamètre angulaire, de la forme :



avec θ le diamètre angulaire, θo le diamètre angulaire moyen, paramètre que mon programme va ajuster, ΔR la variation de rayon (fixé et issu de mes calculs précédents) et d, la distance, autre paramètre qui va être ajusté.


Dans un premier temps, je crée dans mon programme la fonction ci-dessus. Ensuite, il faut noter que dans les données de diamètre angulaire, la phase est différente de celle des données de rayon calculé. Il faut donc que j'interpole le rayon afin de faire correspondre la valeur de diamètre angulaire avec la valeur de rayon à la même phase.
Afin de trouver les paramètres θo et d, je rentre une estimation de ceux-ci et la fonction LMFIT d'IDL me donne leurs valeurs avec des barres d'erreurs. En traçant ensuite cette fonction, je trouve la distance. Pour estimer la qualité de mon ajustement, j'ai calculé :




avec θo et θc respectivement les diamètres angulaires observés (des données VINCI/VLTI) et les diamètres angulaires calculés (avec la fonction LMFIT).

Si la valeur de cette équation est très grande devant 1, alors cela signifie que l'erreur sur les diamètres angulaires observés est très sous-estimé, le modèle n'est pas bon. Si cette valeur est très petite devant 1, alors l'erreur sur les diamètres angulaires observés est très grande, tandis que le modèle passe très bien par les points observées. Dans ce cas là, le modèle ne porte pas d'explication physique par rapport aux grandes barres d'erreurs. Pour avoir un modèle correct, il faut donc que la valeur de cette équation soit proche de 1.

Mon ajustement est le suivant :




FIGURE 10 : Ajustement du diamètre angulaire en fonction de la phase.


J'ai donc pu obtenir le tableau de résultats suivant :



Tableau 2 : Tableau de résultats issus de la Vitesse Radiale associée au premier moment de la raie.