Introduction

Systèmes mécanique à base de métamatériaux

Les métamatériaux montrent de nombreuses propriétés et facultés qui ne peuvent être trouvées dans des matériaux conventionels. Ici, il s'agira d'étudier le changement des propriétés mécaniques, telles que la densité, le coefficient de Poisson ou encore la compressibilité. Récemment, une classe de métamatériau mécaniques a émergée : les métamatériaux topologiques et non-linéaires. Nous nous focaliserons ici sur l'étude d'un métamatériaux topologique mécanique uni-dimensionnel.

Topologie

D'un façon générale, la topologie est une discipline mathématique qui vise à classer les objets par leurs formes. On peut considérer deux objets topologiquements équivalents si on peut les déformer l'un en l'autre sans singularité, c'est à dire sans les trouer ou les découper. Par exemple, une tasse est topologiquement similaire à un donut comme l'illustre l'image ci-dessous.

Le point fort de la topologie en mécanique est la robustesse des matériaux face aux déformations structurelles, cette robustesse est caratérisée par un invariant topologique que nous tacherons de mettre en valeur.

Métamatériaux topologiques

Les metamatériaux topologiques mécaniques montrent des propriétés qui sont topologiquement protégées. Un matériau non topologique à des propriétés qui sont sensibles aux changements aléatoires au sein de leur microstructure. Au contraire, les propriétés topologiquements protégées ne sont pas affectées par des changements réguliers dans leur géométries ou par quelconque désordre dans leur srtuctures. Ainsi, les métamatériaux topologiques fournissent une voie importante dans l'élaboration de matériaux possédant des fonctionnalités robustes.

Ce concept de protection topologique est un point central de la physique moderne de la matière condensés et a jouer un rôle crucial dans l'effet Hall quantique et les isolants topologiques.

Nous étudierons les propriétés de différents systèmes mécaniques qui présentent des signatures topologiques similaires à des isolants topologiques.

Isolant

D'une façon générale, les propriétés de transport ondulatoire d'un système peuvent être étudiées en analysant la relation de dispersion qui relie $k$, le nombre d'onde et la pulsation $\omega$. Par la suite nous observerons souvent des relations de dispersions avec un gap présent, on peut caractériser d'isolant les matériaux qui ont une relation de dispersion gappée. En revanche, un matériaux dont la relation de dispersion ne présente pas de gap sera conducteur.

Isolant topologique

Un isolant topologique est un système isolant en volume (i.e. au sein du matériau) et conducteur sur les bords. Ces propriétés de conduction sont extrèmement robustes car protégées topologiquement.

Etude préliminaire

On a réalisé une étude préliminaire qui avait pour objectif de se familiariser avec le transport d'onde, les relations de dispersions de systèmes mécaniques simples et leurs signatures topologiques typiques. Un programme python à également été développé afin de faire une analyse numérique des système mécaniques à 1D. Le rapport de cette première partie de stage est disponible ici, le notebook ipython associé ici.