Description de l'analogie

Les analogies entre microondes en cavité et physique quantique ont donné lieu à de nombreux résultats notamment pour le chaos quantique [3] ou la localisation forte [2]. En effet, expérimentalement l’analogie formelle entre l’équation de Schrödinger stationnaire et l’équation d’Helmholtz a été très fructueuse, la plupart des expériences utilisent des ondes classique pour mettre à l’épreuve des prédictions élaborées dans un cadre quantique.

Le principal avantage du support associé à la propagation des microondes réside dans sa facilité d’implémentation due à ses dimensions macroscopiques. La taille typique des atomes artificiels est de l’ordre du centimètre. Ces derniers sont donc plus faciles à manipuler que des véritables atomes. Malgré cette différence d’échelle, les deux systèmes obéissent à des lois analogues.

Formellement, dans le cas stationnaire, l’équation de Schrödinger qui régit le comportement d’une particule dans un potentiel variable \(V (r)\) est équivalente à l’équation de Helmholtz décrivant le champ électromagnétique dans une cavité avec une permittivité variable \(\epsilon(r)\). Comme on peut le voir ci-dessous, les deux équations sont très similaires :

Particule quantique

Équation de Schrödinger

\[ [{-\nabla}^{2}+ \frac{2m}{\hbar^{2}} V(\boldsymbol{r})]\psi(\boldsymbol{r}) = \frac{2m}{\hbar^{2}}E\psi(\boldsymbol{r}) \]

Microondes en cavité

Équation de Helmholtz

\[ [{-\nabla}^{2}+(1-\epsilon(\boldsymbol{r})) k^2]\Phi(\boldsymbol{r}) = k^2 \Phi(\boldsymbol{r}) \]

Les correspondances entre une onde quantique et une onde classique sont résumées dans le tableau suivant:

Puits de potentiel

Une particule ponctuelle dans un puits de potentiel fini occupe possède un spectre discret d’énergies accessibles.

Permittivité variable

Dans le puits de potentiel créé par une augmentation de permittivité, une onde classique possède un spectre discret de fréquences propres. À la fréquence la plus basse, analogue du niveau fondamental, est associée un mode possédant un maximun d’intensité au centre du résonateur.

Les résonateurs peuvent être excités dans un mode TM, transverse magnétique, ou TE,, transverse magnétique de l'onde, ou TE, transverse électrique. La courbe bleue montre les résonances provoquées par une antenne "coudée" qui génère des résonances dans les deux polarisations. Si on veut travailler avec le mode fondamental de l'onde TE, il faut identifier le mode TM fondamental. La courbe verte est obtenue en utilisant une antenne droite, qui n'excite que les modes TM. Par élimination, on identifie à 8.06GHz, la fréquence cherchée.

Intensité du mode fondamental

Dans un système 2D, le mode associé à la fréquence fondamentale est décrit par des fonctions de Bessel modifiées (\(J_0\) à l’intérieur du milieu, \(K_0\) à l’extérieur) [4, 5]. C’est ce qui est vérifié expérimentalement avec les résonateurs diélectriques.