Dispositif expérimental

Nous disposons de deux métronomes à première vue identiques. Leur fréquence propre peut être réglée en déplaçant une masselotte le long d'une barre graduée à certaines valeurs exprimées en battements par minute (bpm). Nous plaçons les métronomes sur une planche légère reposant elle-même sur deux canettes de soda vides. L'acquisition vidéo est réalisée au moyen d'une caméra filmant à une fréquence de 60 images par seconde. Afin de détecter le mouvement des oscillateurs ainsi que de la planche, nous collons des gommettes vertes sur les masses des pendules et sur la face de la planche en regard de la caméra. Nous utilisons un script python capable de détecter une plage de nuance d'une couleur donnée, en l'occurrence du vert. Nous plaçons un fond rouge derrière notre système afin d'éviter qu'autre chose que les gommettes ne soient traitée par le script.
Celui-ci détectera donc les régions dont la couleur correspondra à celle que nous définirons pour chaque image de la vidéo. Un masque sera appliqué afin de ne conserver de l'image que les régions considérées (ici les gommettes). Nous étudierons ensuite les trajectoires de ces gommettes dans le référentiel de la planche et nous accéderons au déphasage potentiel entre les deux oscillateurs.

Nous avons vu lors d'observations qualitatives de notre système que la synchronisation n'intervient pas lorsque la différence de fréquences entre les deux métronomes correspond à une graduation d'écart ou plus. L'un des deux métronomes servira de témoin et pour chaque fréquence choisie pour celui-ci (144 bpm, 160 bpm, 184 bpm, 200 bpm), nous ferons varier celle de l'autre entre deux graduations successives. La distance entre celles-ci est d'autant plus réduite que la fréquence affichée sur le métronome diminue. Au delà de 160 bpm, lorsqu'on déplace la masselotte d'une graduation, cela correspond à un écart de 8 bpm et en deçà à 4 bpm. Ainsi, le centre de masse du pendule est peu modifié et, à fortiori, son inertie varie peu autour de la fréquence du métronome témoin. Ceci nous amène à considérer β constant dans cette configuration. Nous ferons pour chaque couple de fréquences une acquisition sans couplage afin de déterminer le paramètre Δ puis une avec couplage afin de converger vers le déphasage ψ.

Pour mener cette étude, nous avons besoin d'accéder à certains paramètres que sont les masses des métronomes et de la planche, le centre de masses ainsi que l'inertie des pendules et leur fréquence propre mesurée pour chaque valeur choisie sur la barre graduée.

Masses

La masse du métronome noir est de 145,27g et celle du beige 145,59g. Cependant, dans notre étude analytique, nous avons considéré deux masses, m et M, que nous assumons être celle du pendule et celle de la planche. Nous considérons donc que m sera la masse du pendule caractérisé ci-après et M la masse de la planche et de celle des coques des métronomes (métronome auquel on a retiré le pendule). Nous dissocions un pendule de la coque d'un métronome identique aux deux premiers. Sa masse m vaut 31,488 g. La masse de la planche M_p vaut 22,9g. Nous en déduisons la masse des coques des deux métronomes noir et beige. La masse M a donc pour valeur 250,74g.

Centres de masse

Nous déterminons le centre de masse r_cm,bpmdes pendules pour différentes positions de la masselotte, donc différentes fréquences propres des métronomes. Nous attachons donc le pendule à un fil de masse négligeable et cherchons le point d'équilibre lorsque le pendule est à l'horizontale. Nous trouvons les valeurs suivantes:

à 144 bpm, r_cm,144 = 1,037 cm

à 160 bpm, r_cm,160 = 1,137 cm

à 184 bpm, r_cm,184 = 1,307 cm

à 200 bpm, r_cm,200 = 1,423 cm

Inertie du pendule

Nous avons détendu complètement le ressort d'un métronome afin d'obtenir un pendule simple. L'inertie du pendule simple par rapport à son centre de masse est reliée à la période d'une demi-oscillation par : \[ I_{cm} = mgr_{cm, bpm}\left[ \left(\frac{T}{\pi}\right)^2 - \frac{r_{cm, bpm}}{g}\right] \] Notons au passage la valeur de θ₀, l'angle d'échappement des pendules, correspondant à la moitié de leur amplitude maximale. Cette valeur est différent pour les deux métronomes et leur moyenne est mesurée à 0,41 rad. Nous pouvons donc en déduire l'inertie du pendule par rapport au pivot du métronome par le théorème de Huygens-Steiner : $$I_{bpm} = I_{cm} + mr_{cm,bpm}^2 $$

à 144 bpm, I₁₄₄ = 5,19E-05 kg.m²

à 160 bpm, I₁₆₀ = 4,61E-05 kg.m²

à 184 bpm, I₁₈₄ = 3,93E-05 kg.m²

à 200 bpm, I₂₀₀ = 3,75E-05 kg.m²

Terme de couplage β

Nous accédons alors au paramètre de couplage β dont nous rappelons l'expression: $$\beta=\left(\frac{mr_{cm}}{M+2m}\right)\left(\frac{mr_{cm}}{I}\right)$$

à 144 bpm, β₁₄₄ = 6,54E-03

à 160 bpm, β₁₆₀ = 8,86E-03

à 184 bpm, β₁₈₄ = 1,37E-02

à 200 bpm, β₂₀₀ = 1,71E-02

Condition de synchronisation

L'étude analytique nous a conduit à déterminer une condition sur le désaccord en fréquences des deux métronomes pour permettre la synchronisation: $$ \mid\Delta\mid \leq \frac{\sqrt{2}}{4}(3\gamma+\beta)$$ où $$\gamma=\frac{\theta_0^2}{6}$$