Nous tenons dans cette simulation à mettre en évidence les différents types de comportements vus dans l'étude géométrique sur le billard mixte. On choisit alors d'envoyer une excitation de type onde plane dont on fait varier le vecteur d'onde incident
, car sa valeur et son orientation déterminent les modes de propagations excités.
Champ proche :
• On prend dans un premier temps un
dont le module correspond à une des solutions de l'équation transcendante et qui est aligné sur l'orbite à deux rebonds, dans le but d'exciter préférentiellement des modes réguliers.
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FIGURE 10 : Evolution du champ proche au cours de la propagation pour dans la direction normale à la troncature et pour un module égal aux solutions p=7 (à gauche) et p=15 (à droite) de l'équation
La figure 10 montre des structures régulières qui semblent être symétriques par rapport à la direction du vecteur d'onde incident. En superposant toutes les images (figure 11), on remarque également que cet axe et plus fréquemment exploré que les autres zones de l'espace. La différence de taille des "grains" et de la fréquence d'oscillation est due à la variation du module de
. En effet, la fréquence est proportionnelle à , et la longueur d'onde de propagation est inversement proportionnelle à celui-ci.
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FIGURE 11 : Superposition du champ proche pour les mêmes conditions que pour la figure 10
Les modes que l'on excite dans ces conditions se construisent le long de l'orbite périodique à deux rebonds : ce sont des modes réguliers.
• Il est intéressant de changer l'orientation de
afin de mettre en évidence des comportements irréguliers. On envoie donc une onde plane dont le vecteur d'onde est désaxé. Voici le résultat obtenu :
FIGURE 12 : Evolution du champ proche pour "désaxé"
La superposition des images montre cette fois-ci qu'aucune zone de l'espace n'est favorisée. Il semble alors que des comportements irréguliers existent dans un système mixte.
FIGURE 13 : superposition du champ proche pour le même que pour la figure 10
Champ lointain :
Le champ lointain permet de connaître les coordonnées du vecteur d'onde au cours de la propagation. Nous avons donc cherché à le visualiser pour obtenir plus d'information sur notre système.
Nous obtenons les résultats suivants:
On peut distinguer différentes formes:
FIGURE 14 : Champ lointain pour des croissant
•les points correspondent à des très localisés, c'est à dire une orientation et un module qui ne changent pas.
•les anneaux, montrent que le module de est toujours fixe, mais que son orientation varie.
Spectre :
Le spectre permet d'observer directement les modes excités lors de la propagation du champ ainsi que le points, c'est donc interessant de pouvoir tracer le spectre lors de nos simulations.
La B.P.M. permet d'enregistrer le recouvrement pour chaque simulation, on peut alors tracer le spectre, qui est la transformée de fourier du recouvrement.
FIGURE 15 : Spectre tracé pour un tel que p=15
Par faute de temps nous n'avons pas pu exploiter en détail les spectres des différentes simulations mais les résultats donnent des informations importantes quant à la régularité des modes excités.
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