Espaces des phases



Pour observer de façon plus simple la dynamique des rayons, on introduit une représentation différente : l'espace des phases, que l'on devrait plus rigoureusement appeler section de Poincaré (voir notre rapport pour une explication détaillée concernant cette distinction).
Nous allons représenter, dans les figures qui suivent, les espaces des phases correspondant aux différentes dynamiques qui coexistent dans le système mixte.


Résonances principales :

FIGURE 2 : Différentes trajectoires dans un billard à dynamique mixte


L'espace des phases associé aux résonances principales est constitué d'une boucle fermée centrée. Ces résonances se constuisent autour d'une orbite périodique qui est l'orbite à deux rebonds représentée par un point au centre de l'espace des phases.

Résonances secondaires :

FIGURE 3 : Différentes trajectoires dans un billard à dynamique mixte


On remarque que les résonances secondaires sont aussi repréntées par des boucles fermées dans l'espace des phases, mais celles-ci sont centrées autour d'une famille de points qui représente une orbite périodique plus complexe que l'orbite à deux rebonds.

Mer chaotique :

FIGURE 4 : Différentes trajectoires dans un billard à dynamique mixte


On obtient ici une configuration tout à fait différente. L'espace des phases est constitué de points répartis dans une zone bien particulière, qui semble correspondre à la partie de l'espace qui n'est pas occupée par les résonances: on l'appelle mer chaotique

Dynamique générale du système mixte :

On peut déterminer une dynamique globale en envoyant un grand nombre de rayons pour des conditions initiales différentes. On obtient alors la figure ci-dessous qui comprend les trois dynamiques vues précédemment.

FIGURE 5 : Espace des phases complet du système mixte


Le billard à dynamique mixte permet donc d'obtenir à la fois des dynamiques réguilières et chaotiques. On peut observer comment la mer chaotique entoure les résonances, et alors renommer par ilots de stabilité, les boucles formées par les résonances secondaires.

Il est maintenant intéréssant d'étudier l'approche ondulatoire de la lumière pour essayer d'observer des comportements semblables.