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                                            ETUDE DANS UN                                    
                                                                GUIDE D'ONDE SEGMENTE PERIODIQUEMENT



   



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Le guide d'onde


Guide d'onde segmenté périodiquement à profil d'indice parabolique
     
  
Guide d'onde segmenté périodiquement à profil d'indice gaussien


Section de Poincaré


Interprétation


Conclusion


Annexes


Contacts
















ANNEXES


  •         THEORIE

 
Nous établirons ici les équations régissant la propagation de rayons lumineux dans des guides d'ondes selon leur profil d'indice.

1 Modélisation d'un guide et grandeurs caractéristiques

Fibre optique:


avec : a : le rayon du coeur
           n2 : indice de la gaine
on notera n1 = n(x=0)
et on posera :  

file:///users/2006/salpetro/equa/capture1.png

Guide segmenté :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture34.png

avec d : largeur d'un segment
        Λ : période de la segmentation

On définira également le rapport cyclique :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture2.png

Pour les deux types de structure, on considérera que ox est l'axe vertical et oz l'axe horizontal (axe optique). L'origine du repère sera en z=0 et au centre du guide.

2 Equation générale du rayon

Tout d'abord, il s'agira de déterminer l'équation des rayons se propageant dans un guide d'onde dont le profil sera défini par n(x).

    Considérons qu'une variation continue d'indice peut être vue comme une variation discontinue sur des éléments différentiels dx afin d'appliquer la loi de Snell-Descartes de la manière suivante :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture31.png

L' indice varie selon n(x).

La loi de Snell-Descartes s'écrit :

n1.cos(θ1) = n2.cos(θ2) = ... =f(θo)

Et on pose :  f(θo) = β

Pour une variation différentielle, on a :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture4.png

dS² = dX² + dZ²
donc

 file:///users/2006/salpetro/equa/capture5.png

et comme
file:///users/2006/salpetro/equa/capture6.png

alors :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture7.png

Ainsi, on obtient l'équation différentielle suivante :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture8.png

Que l'on dérive par rapport à z :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture9.png

<=>file:///users/2006/salpetro/equa/capture10.png
<=>file:///users/2006/salpetro/equa/capture11.png
<=>
file:///users/2006/salpetro/equa/capture12.png

Ainsi, l'équation différentielle décrivant le rayon est :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture13.png

Nous étudierons par la suite deux cas de profil d'indice : le profil parabolique et le profil gaussien.

3 Guide au profil d'indice transverse parabolique

Pour un profil parabolique, l'indice s'écrit de la manière suivante :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture14.png

3 1 Profil parabolique

Pour un guide  non segmenté, l'indice vaut : n (x) pour |x| < a

                                                                                              n2 pour |x| > a

Ainsi, pour |x| < a ,
file:///users/2006/salpetro/equa/capture15.png

et si on pose :



file:///users/2006/salpetro/equa/capture16.png

l'équation du rayon devient :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture35.png
<=> file:///users/2006/salpetro/equa/capture17.png

Dont la solution est de la même forme que pour un oscillateur harmonique :

x(z) = Asin (Γz) + Bcos(Γz)

Déterminons les constantes A et B :

Si on injecte un rayon au centre du guide d'ondes, alors x(z=0) = 0.

Ainsi, B = 0 et il ne reste que : x(z) = Asin(Γz)

On sait qu'à “l'entrée” du guide, on a :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture20.png donc  file:///users/2006/salpetro/equa/capture21.png

Ainsi, pour un profil d'indice parabolique, l'équation du rayon dans la fibre est :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture22.png

Nous pouvons déduire de cette équation que les trajectoires du rayon dans le guide à profil d’indice parabolique sont des sinusoïdes dont la période d'oscillation T vaut : 


file:///users/2006/salpetro/equa/capture23.png

3 1 Profil gaussien

Pour un profil gaussien, l'indice s'écrit de la manière suivante :

                file:///users/2006/salpetro/equa/capture24.png


donc

file:///users/2006/salpetro/equa/capture25.png

et file:///users/2006/salpetro/equa/capture26.png  car   file:///users/2006/salpetro/equa/capture27.png

etfile:///users/2006/salpetro/equa/capture37.png

Ainsi, pour |x| < a , l'équation du rayon est définie par :

file:///users/2006/salpetro/equa/capture28.png

Il n'existe pas de solutions analytiques à cette équation et nous sommes donc contraints d'avoir recours à des solutions numériques.