Modes
L’écriture des équations de Maxwell en tenant compte de la forme des champs E et H se décompose en deux sous-systèmes indépendants : TE et TM.
[Ex,0,Ez] TM
[0,Hy,0] Hz = 0
H perpendiculaire à la direction de propagation
[0,Ey,0] TE
[Hx,0,Hz] Ez = 0
E perpendiculaire à la direction de propagation
Nous allons faire la demonstration pour le mode TE (transverse électrique), ce qui nous permet de dire que le champ électrique est suivant l'axe y et que le champ magnétique est suivant l'axe x et z.
On obtient des équations de Maxwell:
Le matériau utilisé comme substrat (niobate de lithium) étant un matériau diélectrique (absence de charges pouvant créer un courant macroscopique), la propagation des ondes électromagnétiques doit satisfaire à l'équation de d'Alembert.
Il vient des solutions différentes suivant la région et son indice de réfraction. Les solutions seront des exponentielles complexes si (k02 n2 (x)-β2 )>0 , des exponentielles réelles si (k02 n2 (x)-β2 )<0
La réflexion totale implique que dans le substrat d’indice n2, kx=n2 k0 cosθt ne doit pas exister et donc être imaginaire pur. θt angle de transmission dans le substrat par rapport à la normale à l’interface.
On obtient l’encadrement suivant : n2<β/k0 n1 et on déduit en éliminant les termes qui divergent à l’infini :
L’intersection de ces deux fonctions (résolution graphique) détermine les valeurs discrètes de β qui correspondent aux différents modes guidés excepté la valeur qui annule κd qui impliquerait β=n1 k0 donc une propagation uniquement suivant z sans réflexion sur les parois du guide. A chaque valeur de β est associée une forme particulière du champ électrique.
Sur la figure ci-dessus, on observe le mode fondamental, on voit que le champ est confiné dans le milieu d’indice n1, aucune fuite vers les milieux d’indices inférieurs, le champ Ey décroît exponentiellement dans les régions périphériques au guide. Un mode non guidé se représenterait par un champ Ey qui oscillerait dans au moins une des régions entourant le guide.
Dans le système des solutions de Ey, en mettant la constante A en facteur comme un terme d’amplitude, et en résolvant le système grâce aux continuités, on obtient le champ électrique d’un mode guidé défini comme étant :
Le matériau utilisé comme substrat (niobate de lithium) étant un matériau diélectrique (absence de charges pouvant créer un courant macroscopique), la propagation des ondes électromagnétiques doit satisfaire à l'équation de d'Alembert.