Simulation Stationnaire

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Simulation Stationnaire

La résolution analytique de l'équation de Gross-Pitaevskii est impossible mais le développement de l'informatique ces dernières décennies ont permis la simulation d'un très grand nombre d'expériences et la résolution d'équations de plus en plus complexes.

Nous avons, dans un premier temps, simulé un condensat de Bose-Einstein dans le cas stationnaire, c'est à dire l'état propre du condensat. Pour plus de simplicité, l'étude à été faite sur une dimension. Pour résoudre l'équation de Gross-Pitaesvkii. addimentionnée, on utilise le schéma de simulation de Visscher qui relie la partie imaginaire et la partie réelle de la fonction d'onde
Ψ = Re + i . Im grâce aux relations :

Où H est le hamiltonien du système. Ces equations s'obtiennent d'après la rotation de wick. La partie réelle étant indépendante de la partie imaginaire, on fait le choix de n'étudier que la partie réelle de la fonction d'onde. Ce qui nous amène à la relation suivante :

Où l'opérateur d'énergie cinétique

k représente l'incrémentation sur le temps et j sur l'espace.

On compare un taux de précision choisi à Ψ(k+1) - Ψ(k). Une fois cette valeur inférieure au taux de précision on considère que le condensat est dans un état stationnaire, on pourra donc récupérer directement la valeur de plus basse énergie.Notons que nous renormalisons la fonction d'onde à chaque pas de temps pour assurer le bon fonctionnement de l'algorithme.

On injecte une fonction (normalisé ou non) dans un puit harmonique : on obtient au bout d'un certain temps, en accord avec la théorie, une fonction d'onde normalisée de type gaussien.

On généralise ensuite le programme pour deux condensats. Cette fois, le potentiel d'intéraction dépends à la fois du premier condensat et du deuxième. D'où un système d'équation couplées :

g étant le potentiel d'intéraction entre les deux condensats

On pourra faire varier la forme du piège pour obtenir différents cas de figures.