Le nouveau pendule chaotique

Etude détaillée du pendule chaotique
Adimensionnement

Les équations (1) et (2) du pendule chaotique étant assez complexes (elles impliquent six paramètres), nous allons chercher à les simplifier par adimensionnement ^[ref].

On peut tout d'abord reconnaître que le terme $\frac{g}{l}$ est équivalent au carré d'une fréquence. On écrit donc : $$\sqrt{\frac{g}{l}}=\omega$$ Les équations $(1)$ et $(2)$ deviennent alors :
$$ \begin{eqnarray} \ddot{\theta}&=&\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta+\omega ^2(\cos\theta\sin\varphi\sin\alpha-\sin\theta\cos\alpha) \\ % \ddot{\varphi}&=&\frac{\sin\theta(\omega ^2\cos\varphi\sin\alpha-2\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos\theta)}{\sin^2\theta+\frac{MR^2}{ml^2}} \end{eqnarray} $$ Comme on l'a fait pour $\omega$, on va considérer que $\beta = \frac{MR^2}{ml^2}$ est un paramètre de contrôle. Celui-ci représente le rapport des moments d'inertie du disque et de la masse $m$.

Pour finir, nous allons également redéfinir l'échelle des temps. Pour cela, il suffit de poser $\tilde{t}=\frac{t}{\tau}$, où $\tau = \frac{1}{\omega}$ est le temps caractéristique du pendule chaotique.
On obtient les équations adimensionnées :

$$ \begin{eqnarray} % \ddot{\theta}&=&\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\varphi\sin\alpha-\sin\theta\cos\alpha \qquad \quad (3) \\ % \ddot{\varphi}&=&\frac{\sin\theta(\cos\varphi\sin\alpha-2\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos\theta)}{\sin^2\theta+\beta} \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\, (4) \end{eqnarray} $$
Le système est maintenant adimensionné et grandement simplifié : nous sommes passés de six paramètres $( l,m,R,M,\alpha,g )$ à seulement deux paramètres $( \alpha$ et $\beta )$