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étude détaillée du pendule chaotique
Points fixes
Pour faire l'analyse de stabilité des points fixes, il faut d'abord déterminer les coordonnées de ces points.
Un point fixe est un lieu de l'espace où, si l'on y met le système sans vitesse ni accélération, celui-ci n'évoluera pas au fil du temps.
Il existe des points stables et des points instables. Si l'on perturbe légèrement le système alors qu'il est stationnaire et que le point fixe correspondant est stable, le système va osciller autour de ce point. Si ce point est instable, la perturbation va augmenter et fortement déstabiliser le système.
Pour retrouver les positions des points fixes, on va se servir de leur définition : on pose donc $\dot{\theta}=\ddot{\theta}=\dot{\varphi}=\ddot{\varphi}=0$. On doit alors résoudre le système d'équations suivant :
$$
\left \{
\begin{eqnarray*}
%
0&=&\cos\theta\sin\varphi\sin\alpha-\sin\theta\cos\alpha \\
%
0&=&\frac{\sin\theta\cos\varphi\sin\alpha}{\sin^2\theta+\beta}
\end{eqnarray*}
\right .
$$
Les solutions de ces équations sont :
$$
\left \{
\begin{eqnarray*}
\theta&=& 0 \; \text{ou} \; \pi \\
%
\varphi&=& 0
\end{eqnarray*}
\right .
\qquad \qquad
\text{et}
\qquad \qquad
\left \{
\begin{eqnarray*}
\theta&=& \pm \arccos ( \pm \cos \alpha ) \\
%
\varphi&=&\pm\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
\right .
$$
Elles peuvent être tracées comme suit :
points fixes pour $\varphi=\pm\frac{\pi}{2}$ | points fixes pour $\varphi=0$ |
 |  |
$$
\left \{
\begin{eqnarray*}
\theta&=& \pm\alpha \\
%
\varphi&=&\pm\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
\right . \quad ; \quad
\left \{
\begin{eqnarray*}
\theta&=& \pm (\pi - \alpha )\; \\
%
\varphi&=&\pm\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
\right . (\alpha > 0)\quad ; \quad
\left \{
\begin{eqnarray*}
\theta&=& \pm (\pi + \alpha )\\
%
\varphi&=&\pm\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
\right . (\alpha < 0)
$$ |
$$
\left \{
\begin{eqnarray*}
\theta&=& 0 \\
%
\varphi&=& 0
\end{eqnarray*}
\right . \quad ; \quad
\left \{
\begin{eqnarray*}
\theta&=& \pm \pi \\
%
\varphi&=& 0
\end{eqnarray*}
\right .
$$ |