L'APPROXIMATION WKB

L'approximation WKB, tirant son nom de ses inventeurs Wentzel, Kramers et Brillouin, est une méthode développée en 1926 qui permet une résolution approchée de l'équation de Schrödinger. Le but de cette approximation est de retrouver le régime classique lorsque l'on fait tendre ℏ vers 0, puisque la fonction d'onde oscille très rapidement. Pour cela, on considère une solution de l'équation de Schrödinger de la forme:

Ici, σ(x) est une fonction de la variable de position. En l'injectant dans l'équation de Schrödinger, on obtient:

Nous sommes donc face à une équation différentielle du second ordre pour σ. Pour rappel, à la limite classique, on fait tendre ℏ vers 0. Ainsi, on peut réécrire σ sous la forme d'une série de puissance de ℏ. On a alors:

C'est à ce moment précis que l'approximation WKB entre en jeu. En effet, la précision de celle-ci va dépendre du nombre de termes que l'on prend en compte dans le développement précédent.

Ordre 0: À l'ordre 0, on prend seulement σ=σ₀. Cet ordre, nommé "l'approximation classique", consiste à ne garder aucun terme en ℏ. Il vient, en remplaçant dans l'équation différentielle que l'on a obtenue précédemment:

Il vient donc une équation pour σ'₀:

Et on en déduit alors une expression pour σ₀:

Ainsi, on identifie:

comme étant l'impulsion classique de la particule. Rappelons que cette expression n'a de sens que si les termes en ℏ sont négligés. On doit donc avoir:

Nous venons alors d'établir une condition quantitative quant à la validité de l'approximation à l'ordre 0. Physiquement, cela traduit le fait que la longueur d'onde de la fonction d'onde doit très faiblement varier pour des distances de son ordre. Cette approximation ne sera donc valide que pour certaines morphologies du potentiel.

Ordre 1: Cet ordre est appelé "l'approximation WKB" proprement dite. À cet ordre, σ s'écrit cette fois-ci:

En insérant cette expression dans l'équation de Schrödinger, et en négligeant les termes d'ordre supérieur pour ℏ, on obtient:

Ainsi, il en découle une expression pour σ₁:

IL vient alors que la fonction d'onde peut être réécrite de la manière suivante:

où c₁ est une constante de normalisation

Il est intéressant de remarquer que si l'on prend le module carré de la fonction d'onde précédemment obtenue, celui-ci possèdera un terme en 1/p. On retrouve donc ici un résultat de physique statistique où la probabilité de trouver une particule en un élément de distance dx est proportionnel à l'inverse de sa distance. Dans les régions classiquement interdites (E < V), la fonction p est imaginaire pure. L'exponentielle devient donc réelle.

Il est possible d'établir un raisonnement pour des ordres supérieurs, mais cela ne sera pas utile dans le reste de notre projet.