LE DOUBLE PUITS HARMONIQUE

Comparaison WKB-solution analytique : l'exemple du double puits harmonique

Comme nous l'avons dit précédemment, la résolution de l'équation de Schrödinger peut vite se révéler fastidieuse lorsque le potentiel et la topologie du potentiel sont complexes. D'où la nécessité d'utiliser des méthodes de résolution approchées, comme l'approximation WKB. On se propose de vérifier la précision de cette approximation en la comparant avec la solution "exacte", celle calculée par notre programme informatique. Pour cela, nous allons calculer le "splitting" d'énergie (cf. annexe partie 3.3) d'un double puits harmonique de la forme: Ax⁴-Bx²+C.


La résolution analytique : le programme informatique

Graphe des fonctions d'onde du double puits des 14 premiers niveaux, obtenu avec notre programme.
On constate bien le dédoublement des états d'énergie pour les états dans les deux puits.

Le graphe de ΔE en fonction de E est le suivant :

Comme on peut le constater, le calcul du ΔE avec la méthode WKB est en très bon accord avec le calcul exact, et ce pour les énergies aussi bien petites que grandes. Pour pouvoir observer les différences, on trace le préfacteur du ΔE devant l'exponentielle :

Le calcul du pré facteur du ΔE, devant l'exponentielle, reste cependant imprécis pour les énergies faibles. En effet celui-ci est proportionnel à:

En vertu de la condition de validité de WKB (cf. Annexe établissement de l'ansatz WKB), il est donc normal que l'approximation ne soit pas bonne pour des énergies faibles.