QUANTIFICATION DE L'ENERGIE

Jusqu'au début du XX^eme siècle, la mécanique classique prévoyait un continuum de valeurs possibles entre deux niveaux d'énergie d'un atome. Or, les premières expériences effectuées sur les atomes ont permis de réveler la nature discrète de cette énergie. En effet, lorsque l'on bombarde un atome avec des photons d'énergie E=h\ν, cela va exciter l'atome, lui permettant de gagner en énergie et de monter au niveau d'énergie supérieur. Cependant, ce transfert ne se fait pas continuement, mais s'effectue en une seule fois. C'est pour cela que l'énergie d'un atome est dite "discrète". Ces niveaux d'énergie peuvent être représentés par une trajectoire dans l'espace des phases (p,x). En général, l'énergie d'un système périodique s'écrit de la manière suivante:

Dans le cas d'un oscillateur harmonique, une particule évoluant à une dimension sera soumise à un potentiel:

Ainsi, on obtient une équation pour l'énergie de la particule, qui dépend de x et de p. Dans l'espace des phases (p,x), la trajectoire prend donc une forme elliptique, dont l'action de la particule est représentée par l'aire contenue sous cette ellipse.

Trajectoire dans l'espace des phases de l'oscillateur harmonique

Lorsque p=0, on a donc:

Ce qui corespond au demi-grand axe "a" de l'ellipse

Inversement, lorsque x=0, on obtient:

Ce qui corespond au demi-petit axe "b" de l'ellipse

L'aire de l'ellipse étant S=πab, il vient finalement:

Les physiciens Arnold Sommerfled & Niels Bohr énoncèrent plus tard que seules certaines valeurs de l'énergie sont tolérées: celles dont l'aire de la trajectoire associée, et donc l'action, sont des multiples entiers de h. Ainsi, la condition à vérifier nous donne:

Et on en déduit finalement une expression pour l'énergie:

Ce qui nous prouve donc que l'énergie est belle est bien quantifiée. L'existence des trajectoires d'une particule va donc dépendre des valeurs discrètes de l'énergie.

Application à WKB: Cette condition de quantification de l'énergie peut êre retrouvée à l'aide de l'approximation WKB. En effet, celle-ci découle directement de l'existence de la phase de la fonction d'onde, qui-elle même vient du fait qu'elle puisse interférer constructivement avec elle-même. Ainsi, si la particule se place le long d'une trajectoire fermée, sa fonction d'onde doit retrouver la même valeur qu'elle possédait lors de son point de départ, à une phase 2π près. Or, la particule subit un déphasage de ±π/2 à chaque fois qu'elle passe par un point de rebroussement. La condition de quantification de l'énergie s'écrit donc:

Où m représente le nombre de points de rebroussement du système

Dans le cas de l'oscillateur harmonique, m=2. On obtient donc:

Ce qui s'avère être la formule exacte de l'énergie d'un oscillateur harmonique.