PRESENTATION DE NOTRE PROJET

But principal: Notre projet aura eu pour but de relier la physique quantique à la physique classique à l'aide de différentes méthodes que l'on expliquera. Nous avons réalisé un programme qui nous aura permis de tracer différents puits de potentiel ainsi que des fonctions d'ondes. Celui-ci, comme expliqué dans la section "Notre programme" de la rubrique "Introduction", a également pour rôle de calculer les différents niveaux d'énergie d'une fonction d'onde donnée.

Bref historique: C'est au début du XX^e siècle qu'est née la physique quantique. C'est à l'origine Max Planck (cf image ci- contre), qui, grâce à ses travaux sur le rayonnement des corps noirs, proposa une hypothèse: l'énergie des atomes ne s'exprime que par des multiples de quantités proportionnelles à la fréquence du rayonnement. Il en déduisit alors une formule pour l'énergie: E=hν. Albert Einstein, lui, affirmera plus tard que cette énergie correspond en fait à l'énergie d'un quanta de rayonnement électromagnétique, qui sera baptisé "photon" en 1926. Puis c'est un autre physicien, Louis De Broglie, qui proposa une relation similaire à celle de Planck, mais en introduisant cette fois-ci la quantité de mouvement p.

Ainsi, c'est par le biais de cette équation que Planck introduisit la dualité onde corpuscule, qui est un concept bien connu en mécanique quantique. Celui-ci émet l'idée que toute particule physique peut comporter des propriétés d'une onde mais également d'un corpuscule. L'expérience qui démontra ceci fut établie par Thomas Young, que l'on appelle aujourd'hui "Les fentes d'Young". En 1801, Young fit interférer deux faisceaux lumineux issus d'une même source en les faisant passer par deux petites fentes placées dans un plan opaque. Il plaça un écran derrière les fentes et observa des figures d'interférences. Cette expérience fut réalisée plus tard avec des électrons. Lorsque les électrons étaient envoyés un par un, on observa le passage des électrons par une seule fente à la fois (corpuscule). Mais lorsque les électrons furent envoyés par paquet, on remarqua des figures d'interférences sur l'écran (onde). C'est ainsi que l'on a pu constater expérimentalement cette dualité onde corpuscule. On retrouve cette dualité dans les puits et barrières de potentiels. En effet, lorsqu'un électron fait face à une barrière de potentiel d'épaisseur finie, nous pourrions nous attendre, par raisonnement classique, à ce que l'électron ne traverse pas cette barrière. Or, on remarque que la densité de probabilité de l'électron n'est pas nulle après avoir traversé cette barrière, mais prend la forme d'une exponentielle négative. C'est ce que l'on appelle "l'effet tunnel", et c'est sur ceci que notre projet se concentrera en grande partie.


En 1926, un physicien autrichien, nommé Erwin Schrödinger, établit une relation qui devint rapidement fondamentale dans le domaine de la physique quantique:

Avec:

l'opérateur Halmitonien qui décrit l'évolution de la particule au fil du temps, et Ψ représente la fonction d'onde associée à l'état de la particule. Cette équation comporte des dérivées partielles du second ordre, puisque l'opérateur H dépend en fait du Laplacien scalaire Δ (car P² = - ℏ²Δ), ainsi, pour des potentiels complexes, cette équation devient compliquée à résoudre analytiquement. Cependant, il existe une méthode approchée de résolution de cette équation: l'approximation WKB, du nom des physiciens Wentzel, Kramers et Brillouin. Cette approche, qui constitue une grande partie de notre étude, sera décrite dans la rubrique Approximation WKB.